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爬文看到有不少人對這樣得說法持不同意見

我只好發一篇文解釋一下柯p用他的"流體力學"其中所謂的阻力那公式來說明
先說結論：柯p的想法不只是正確  而且非常務實
          差在他沒有很多時間解釋那複雜的公式背後所有的意義而已

Poiseuille's law  其實是研究血流所發現
在大學一般教科書的流體力學裡面
Poiseuille's law只會提到公式  詳細一點的流力教科書會有公式推導

Poiseuille's law的運用有三個假設
    假設液體是不可壓縮流體；
    假設液體是牛頓流體，即它的粘滯係數不隨流速而改變；
    假設液體的流動是層流，而不是湍流，即管的直徑不能太大。

當然  對於可壓縮流  非牛頓流體等  都有修正公式
這屬於高等流體力學裡面才會有的東西  沒修過的鄉民當然不知道了

Poiseuille's law是什麼？    流力表示方式是以下
(假設一管子長L  半徑R  Q是體積流率  μ是動黏滯係數  ΔP是入口出口壓差)

          8μLQ
ΔP = ------------   這條公式時常運用在血液尿液  或其他不只是生醫工程上
         πR^4       會碰到的流體  運用很廣泛

有些鄉民一直不相信有這條公式  這表示你沒見過而已  沒見過不代表他不存在
文末附上推導

現在柯P想說明連通道比喻成管子
入口處有人潮前進的"力量"Pin  出口也有人潮前進的"力量"Pout
所以行程了公式中的壓差ΔP=Pout-Pin
如果說ΔP=0  表示暢通  但如果ΔP=\=0  表示出入口的人潮前進的力量有差異
這就行程柯p口述中的阻力了
其餘之後描述的與長度L成正比  與半徑4次方反比  就是如此簡單而已

也就是說  管長越長  ΔP越大  半徑越小ΔP也越大  形成的阻力也越大
人潮不只無法疏通  反而會堆疊  造成更大的阻力
當然也有人會說人潮用這條公式比喻不洽當
但我覺得柯p用"比較簡單務實的說明方式"對大家說明他的觀點  已經很難得了
這條公式當然不能完全說明人潮疏散的過程  但也相去不遠了
修正公式裡面基本上也跑不了L與R^4這兩項因次
而且也大多是修正係數在領導整條公式  不然Poiseuille's law的"law"是喊假的嗎?
這公式運用在血流最多  因為血流裡面有血小板血紅素紅血球什麼挖溝的都在裡面
就好像人潮一樣  什麼樣的人都有  這配合這公式不是更貼切嗎


鄉民想看推導  以下大致上推導這條公式的由來
(唸過流體力學看得懂得再看  看不懂的快逃回上面那個簡單的公式就好)
以血管為例子比喻

 r
 ↑========================
             R
-----------------------------z    血管半徑R  分z方向與r方向  因此用圓柱座標

   =========================


Denote parameters as the coefficient of blood viscosity μ,
the mass density ρ, the shear stress τ, the shear strain rate γ, and
body forces in cylindrical coordinate g_r,g_z,g_θ.

Laminar and steady flow condition gives the blood velocity

V_z=V_z(r), V_θ=0, V_r=0                                 (1)

Non-slip on the boundary and symmetry of the flow give

               dV_z
V_z(R)=0,     ------|    = 0                               (2)
                dr   r=0


Navier-Stokes eqs in cylindrical polar coordinates are
(納為雅史託克方程式  偏微分符號以δ表示)

(a) along r-direction

       δV_r        δV_r    V_θ  δV_r      (V_θ)^2        δV_r
    ρ(------- + V_r----- + -----*-------  -  --------- + V_z--------)
         δt         δr      r    δθ           r            δz

     δp                  1   δ  δV_r     V_r    1  δ^2(V_r)
= - ------ + ρg_r + μ{ ---*---(r------) - --- + ---*---------
     δr                  r  δr   δr      r^2   r^2 δθ^2

                            2   δV_θ     δ^2(V_r)
                         - ----*------ +  ----------- }
                            r^2   δθ      δz^2

                                                 ..................... (3)


(b)along θ  ................(4)
(c)along z   ................(5)

因為太煩了  θz方向的Navier Stokes eq 我就不打了

把(1)的邊界條件丟入(3)(4)(5)  可以化簡得

 1   d     dV_z        1     dp
---*----(r------) =  ----- ------             ...............(6)
 r   dr     dr         μ    dz


上面的DE解為

        1    r^2      dp
V_z = -----*------*------- + Aln(r) + B   ......................(7)
       μ      4      dz


把第(2)B.C.丟入上面  解得

       1               dp
V_z = ----(r^2 - R^2) -----    ...............(8)
       4μ             dz

The solution is the standard solution  of Hagen-Poiseuille flow.
More details study on the solution of (8) gives the flow rate,
or flow flux through the tube

     R
Q=2π∫rV_z dr             ...............(9)
      0

然後Q可以找到為

     πR^4   dp
Q= - -----  ----     稍微移項就可以得到最初上面的Poiseuille's
      8μ    dz

太久沒打這些東西  打得好累....
別問我哪裡抄來的  那是我自己十年前論文寫的東西
現在也忘的差不多了  但主要的概念還是不會忘記

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