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看板 Gossiping
作者 標題 [爆卦] 數學家花30年終於證明幾何朗蘭茲猜想
時間 Sat Jul 20 12:25:49 2024
https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/
https://www.youtube.com/watch?v=1emC3ncjblU
朗蘭茲綱領由Robert Langlands在1960年代發起，為傅里葉分析的廣泛推廣，試圖將三個
數學領域連結起來：數論、幾何和函數域，因此被稱為數學的大統一理論。傅立葉轉換是
將波形轉換成正弦波級數，進而分析波形的頻譜。Langlands認為數論和函數域之間也存在
類似傅立葉分析的波形-頻譜對應關係:波形類似函數中的特徵函數，每個特徵函數都有特
徵頻率，正弦波頻率是個數字，而特徵函數頻率則是無限數列。至於頻譜端，Langlands則
認為數論中的對象能標示特徵函數的頻譜。
數學領域連結起來：數論、幾何和函數域，因此被稱為數學的大統一理論。傅立葉轉換是
將波形轉換成正弦波級數，進而分析波形的頻譜。Langlands認為數論和函數域之間也存在
類似傅立葉分析的波形-頻譜對應關係:波形類似函數中的特徵函數，每個特徵函數都有特
徵頻率，正弦波頻率是個數字，而特徵函數頻率則是無限數列。至於頻譜端，Langlands則
認為數論中的對象能標示特徵函數的頻譜。
數論中的費馬大定理就是透過發現幾何中的谷山-志村猜想與之等價後完成證明的，因此完
成朗蘭茲綱領勢必能大大推進數學研究-證明幾何中的猜想就能證明數論或函數中的猜想，
反之亦然。
成朗蘭茲綱領勢必能大大推進數學研究-證明幾何中的猜想就能證明數論或函數中的猜想，
反之亦然。
數學家首先思考幾何朗蘭茲猜想對應的頻譜側應該是什麼樣子。他們首先想到緊緻黎曼曲
面(球面、甜甜圈及多孔甜甜圈)。一個黎曼曲面有一個相應對象-基本群，它跟踪了環繞曲
面的不同環路。數學家推測幾何朗蘭茲對應的頻譜側應該由基本群的某些提煉形式組成，
這些形式被稱為其「表示」，而黎曼曲面基本群的每個表示應該是一個頻率標籤。
面(球面、甜甜圈及多孔甜甜圈)。一個黎曼曲面有一個相應對象-基本群，它跟踪了環繞曲
面的不同環路。數學家推測幾何朗蘭茲對應的頻譜側應該由基本群的某些提煉形式組成，
這些形式被稱為其「表示」，而黎曼曲面基本群的每個表示應該是一個頻率標籤。
1980年代芝加哥大學的Vladimir Drinfeld提出通過用特徵層取代特徵函數來創建幾何朗蘭
茲對應。1990年代早期，Beilinson和Drinfeld展示了如何使用物理學中的共形場論來構建
特徵層。
茲對應。1990年代早期，Beilinson和Drinfeld展示了如何使用物理學中的共形場論來構建
特徵層。
1990年代中期Gaitsgory在聆聽Beilinson關於幾何朗蘭茲項目的演講後決定全心投入其中
。2013年馬克斯普朗克研究所的Gaitsgory撰寫了幾何朗蘭茲猜想證明的綱要。後來
Gaitsgory和多倫多大學的Nick Rozenblyum寫了兩本關於層的書。
2020年疫情爆發時Gaitsgory團隊撰寫了朗蘭茲計劃函數域的論文，其中包含了後來成為幾
何朗蘭茲猜想證明的關鍵部分：理解每個特徵層如何對白雜訊做出貢獻的方法。在幾何朗
蘭茲計劃的世界中，特徵層扮演正弦波的角色。Gaitsgory團隊確定龐加萊層充當了白雜訊
的角色。但是他們不知道每個特徵層是否在龐加萊層中有表示以及它們是否具有相同振幅。
2022年春天，耶魯大學的Raskin和他的研究生Joakim Færgeman意識到最棘手部分是處理
何朗蘭茲猜想證明的關鍵部分：理解每個特徵層如何對白雜訊做出貢獻的方法。在幾何朗
蘭茲計劃的世界中，特徵層扮演正弦波的角色。Gaitsgory團隊確定龐加萊層充當了白雜訊
的角色。但是他們不知道每個特徵層是否在龐加萊層中有表示以及它們是否具有相同振幅。
2022年春天，耶魯大學的Raskin和他的研究生Joakim Færgeman意識到最棘手部分是處理
基本群的不可約表示，他發現可以將不可約表示的問題簡化為證明三個都在可達範圍內的
事實。
最終Gaitsgory,Raskin,Arinkin,Rozenblyum和Færgeman等九人完成了證明，他們將800頁
證明分成五篇論文並放到網上。
德克薩斯大學奧斯汀分校的 David Ben-Zvi 說:「在其他任何領域中，從未有過如此全面
和強大的結果被證明。」
數學家接著將研究幾何朗蘭茲綱領與量子物理的聯繫，將結果擴展到帶有穿孔的黎曼曲面
。Gaitsgory團隊已經在將幾何朗蘭茲證明轉化為函數域方面取得進展，如果成功，將大大
推進函數朗蘭茲猜想的證明。目前菲爾茲獎得主Scholze也在努力連結幾何和數論朗蘭茲猜
想。
。Gaitsgory團隊已經在將幾何朗蘭茲證明轉化為函數域方面取得進展，如果成功，將大大
推進函數朗蘭茲猜想的證明。目前菲爾茲獎得主Scholze也在努力連結幾何和數論朗蘭茲猜
想。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.253.177.34 (臺灣)
※ 作者: jackliao1990 2024-07-20 12:25:49
※ 文章代碼(AID): #1ccpnLKl (Gossiping)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1721449557.A.52F.html
推 : 以下開放跟我想得一樣1F 36.234.242.154 台灣 07/20 12:26
推 : 跟我想的差不多2F 42.79.102.177 台灣 07/20 12:26
推 : 跟我高中做的報告一樣3F 112.78.89.139 台灣 07/20 12:26
噓 : 我之前有幾個點卡住 現在總算能驗證了4F 223.137.18.230 台灣 07/20 12:26
推 : 跟我想的一樣5F 114.136.177.149 台灣 07/20 12:27
→ : 就這花了30年！？6F 27.247.158.7 台灣 07/20 12:27
→ : 30字總結好嗎，誰看得懂7F 111.249.17.96 台灣 07/20 12:27
推 : 我坐在蘋果樹下的時候想過了8F 210.209.244.68 台灣 07/20 12:27
推 : 下面有請PTT各大數學家發表看法9F 1.171.72.188 台灣 07/20 12:27
推 : 樓下早就知道了10F 223.136.224.62 台灣 07/20 12:28
推 : 早說，為什麼不早說11F 114.137.246.128 台灣 07/20 12:28
推 : 嗯 跟我猜想的差不多12F 27.51.82.141 台灣 07/20 12:28
推 : 蛤 我以為這大家都會欸13F 150.117.56.170 台灣 07/20 12:28
推 : 略懂略懂14F 49.215.51.196 台灣 07/20 12:28
推 : 嗯嗯 我懂了15F 49.217.113.129 台灣 07/20 12:29
→ : 去年暑假我跟市場賣豬肉的小黑老婆喇16F 61.230.134.72 台灣 07/20 12:29
→ : 賽的時候就證明過了 花了三分鐘
→ : 賽的時候就證明過了 花了三分鐘
推 : 我也這麼覺得18F 114.32.191.53 台灣 07/20 12:29
推 : 跟我19F 123.194.132.237 台灣 07/20 12:30
推 : 推20F 223.139.80.251 台灣 07/20 12:30
推 : 比較想知道實用性 傅立葉在訊號處理常用21F 114.24.135.158 台灣 07/20 12:31
噓 : 我30秒就證明了 有夠廢22F 61.228.242.202 台灣 07/20 12:32
→ : 嗯 跟我在圖書館看到隨手寫的證明一樣23F 101.9.138.42 台灣 07/20 12:32
推 : 台灣教授：講快一點，先講結論。你24F 91.223.100.6 英國 07/20 12:33
→ : 到底在說什麼？什麼證明需要800頁
→ : ？
→ : 到底在說什麼？什麼證明需要800頁
→ : ？
推 : 嗯 跟我想的一樣27F 1.200.91.49 台灣 07/20 12:33
推 : 原來跟我想的都一樣ね28F 61.61.75.66 台灣 07/20 12:33
推 : 跟我想的差不多29F 61.228.169.113 台灣 07/20 12:34
推 : 每個字我都看得懂 合起來我就看不懂了30F 219.91.35.160 台灣 07/20 12:34
推 : 跟我想得… …不，我完全看不懂=.=31F 42.73.250.230 台灣 07/20 12:34
推 : 貝果吧=· = 多重宇宙有演32F 223.138.81.239 台灣 07/20 12:34
推 : 量子33F 123.195.32.49 台灣 07/20 12:35
推 : 中醫系他媽的也要學這個34F 180.217.129.151 台灣 07/20 12:35
→ : 我之前大便的時候快想到 沒寫下來而已35F 39.9.229.12 台灣 07/20 12:38
推 : 跟我想的差不多36F 49.217.132.198 台灣 07/20 12:38
推 : 看過了，還好而已37F 42.72.217.54 台灣 07/20 12:39
推 : 嗯嗯 看來我當初的想法是對的38F 1.164.249.230 台灣 07/20 12:39
推 : 可惜 差一點就猜到39F 114.40.29.99 台灣 07/20 12:41
→ : 上次在某大學遇到清潔工 他說他早就知道了40F 1.168.118.30 台灣 07/20 12:41
推 : 我國小科展就是寫這個阿41F 49.216.174.252 台灣 07/20 12:42
推 : 跟我想的差不多42F 101.12.161.89 台灣 07/20 12:42
→ : 我上次寫在走廊的黑板被路過的清潔工解43F 49.216.167.8 台灣 07/20 12:43
→ : 開了
→ : 開了
推 : 嗯，分析的不錯45F 42.77.230.149 台灣 07/20 12:43
推 : 跟我想得一樣46F 42.78.253.132 台灣 07/20 12:45
※ 編輯: jackliao1990 (111.253.177.34 臺灣), 07/20/2024 12:47:14推 : 快推免得別人發現我們不懂47F 223.136.104.57 台灣 07/20 12:46
推 : 嗯嗯，終於看懂這是在寫中文了48F 101.10.112.40 台灣 07/20 12:47
→ : 嗯嗯 我讀到這個的時候也這樣想過 但是覺得49F 223.140.194.168 台灣 07/20 12:47
→ : 沒什麼有趣的 就沒深究了
→ : 沒什麼有趣的 就沒深究了
推 : 跟我想得差不多!51F 50.72.106.1 加拿大 07/20 12:48
→ : 嗯嗯 我老師也是這樣說52F 1.173.82.85 台灣 07/20 12:49
推 : 我之前這樣寫 還被教授打槍==53F 223.137.151.231 台灣 07/20 12:51
推 : 跟我想的一樣54F 111.246.216.235 台灣 07/20 12:54
→ : 看某啦55F 114.24.224.168 台灣 07/20 12:54
→ : 無聊 理組就愛做這些沒有意義的事情56F 219.70.227.53 台灣 07/20 12:55
→ : 跟我想的一樣57F 111.254.169.127 台灣 07/20 12:59
→ : 台灣教授->這個簡單的one page rep58F 1.162.171.142 台灣 07/20 13:02
→ : ort幹嘛寫800頁？結論不會先寫嗎？
→ : ort幹嘛寫800頁？結論不會先寫嗎？
推 : 我以為大家都知道60F 114.26.142.213 台灣 07/20 13:05
→ : 我只差在證明不出來這步而已61F 220.133.249.166 台灣 07/20 13:06
推 : 給AI跑三小時就解決了62F 42.73.76.223 台灣 07/20 13:06
噓 : 國中解完老師還說我算錯63F 49.157.47.254 菲律賓 07/20 13:09
→ : 怎麼最近 世紀數學題一個一個解開64F 111.246.115.171 台灣 07/20 13:13
推 : AI可能有幫助吧65F 1.170.90.146 台灣 07/20 13:15
推 : 把數論、幾何和函數域連結起來 真的很屌66F 111.82.80.105 台灣 07/20 13:19
推 : 跟我想的差不多67F 114.24.90.182 台灣 07/20 13:20
噓 : 1+1=王 快讓我領一座菲爾玆獎68F 42.73.42.5 台灣 07/20 13:21
推 : 表示宇宙就是一堆圓交互作用著69F 49.216.164.26 台灣 07/20 13:24
推 : 我想到了一個精妙的證明，但是推文空70F 118.167.4.47 台灣 07/20 13:26
→ : 間太小了
→ : 間太小了
→ : 不要說證明 連題目都看不懂72F 223.136.186.14 台灣 07/20 13:31
推 : 跟我想的差不多73F 42.73.253.242 台灣 07/20 13:33
推 : 嗯嗯 跟我想的一樣74F 118.170.227.23 台灣 07/20 13:34
推 : 嗯嗯昨天洗澡就有想過了75F 42.77.106.68 台灣 07/20 13:37
推 : 嗯嗯 跟我想的不一樣76F 220.141.98.64 台灣 07/20 13:37
![[圖]](https://imgur.disp.cc/3Z/RWgqfIb.jpg)
推 : 可不可白雜訊78F 114.25.149.151 台灣 07/20 13:37
推 : 這個國小考私中補習班不是就會教了嗎==79F 118.170.225.185 台灣 07/20 13:46
推 : 原來如此 我懂了80F 220.137.69.151 台灣 07/20 13:51
推 : 我早就想到絕妙的證明方式81F 118.231.137.10 台灣 07/20 13:52
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