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本文涉及暈眩、想睡、左轉...諸多副作用

慎入











文章分成兩個部分《期望值》、《無窮級數》解釋那篇的爭議。在這之前，先看我們最初
的問題：如果前幾張抽到糞卡，那之後抽卡會不會很難追平？而corpsekiwi大提到：
（此假設抽白金+1，抽非白金-1，白金與非白金的機率各是1/2）

後來推文整個歪串啦！還涉及之前新聞沸沸揚揚的1+2+3+4... = -1/12以及其他無窮級數
後來思考了一段時間知道怎麼打這篇...

是哪來的，分子分母各是什麼？何謂60％機率在未來30抽也無法翻正？

承上段所述，就是每個人感覺不一樣，所以才會有各種統計值，像是期望值、平均
  算式也很合理，但有人提出這樣區別不出"1個人0分，39個人100分" VS "40人99分"，
  確實，但如果我是在乎大多數人表現的老師，平均數的定法就很合我胃口了，為何還

總之就是人為定出的各種統計值，人各有所好的選擇適合自己的量化方式，因為再怎麼
樣都會跟實際狀況有出入，現實發生的事情太奧妙了，諸如：



            參考aardvark的reference http://en.wikipedia.org/wiki/Random_walk
            我下面的符號會跟Wiki的一樣





這是一維隨機漫步（One dimensional random walk）的經典模型，corpsekiwi也是引用
所給的相同wiki連結，它確實是在講一維的模型，只是插圖有二維情況，這部分應該是
你誤會corpsekiwi了


令隨機變數Z（就是個函數）定義為：Z = {  1 , head on   （白金！）
                                     { -1 , head down （幹！30~40魂）

投第一次（抽第一張）稱為Z_1，之後一直投，就有Z_1,Z_2,...Z_i
               n
接著定義S_n = Σ Z_i 想成是投n次後的移動結果（這邊會有函數well-defined的問題原
             i=1            　　              因在於母空間其實沒那麼簡單，略）

再來根據期望值定義（只考慮離散隨機變數）：

一個離散隨機變數X的期望值E(X) =　每個發生的值*每個值發生的機率

（試算E(S_3)：投3次有可能發生S_3 = { 3 , if 上上上                 機率1/8
                                   { 1 , if 上上下、上下上、下上上 機率3/8
                                   { -1, if 上下下、下上下、下下上 機率3/8
                                   { -3, if 下下下                 機率1/8

  因此E(S_3) = 3*1/8 + 1*3/8 + (-1)*3/8 + (-3)*1/8 = 0
  這根本不用算因為對稱相消，也是為何E(S_n) = 0的原因）

因為從試算看到，正負是抵銷的，我們看不到抵銷掉的部分，而如果算了E(│S_n│）
舉例如果E(│S_1000│）= 50000，那投1000次大約就是在+50000或是-50000，而不會
是死板板的E(S_1000)是0。

經由中央極限定理與常態分佈函數的瑕積分，我們得到：

      E(│S_n│)　　　  ２　　
 lim  ───── = √（──）
n→∞     √n　　　　　 π　　

亦即n很大的時候，√n乘到右邊去，就是corpsekiw的那個式子。


（不然會變成負魔法石，違規帳戶唷^.<）

期望值就講到這了

              到底發生什麼事

其實我蠻訝異為何會扯到這個XDDD，是不是在argue說期望值不會是真正情況？
本來期望值只是人為定出的值，期望嘛！不要太高XDD

接著就是這組問題：1-1+1-1... = 0     or 發散  (a_n = (-1)^n的級數)

                  1+0+1+0... = 1/2   or 發散  (略)

                  1+2+3+4... = -1/12 or 發散  (a_n = n 的級數)


很多人會選後者因為最初接受到極限的概念是：

a_n是一個實數數列，我們說a_n收斂如果滿足：
存在一個實數L使得"任給ε>0，存在正整數N_ε，使得當n≧N_ε時，│a_n-L│<ε"

而級數本身是從某個數列建構的，也可以套用收斂的定義。因此基於這個定義下，答案
是後者無誤，那到底前者是來沖煞洨？想必很明顯了...就是不同定義阿！

                          n
以上述的數列a_n造出級數  Σ a_i，以原來收斂定義的話，我們定義：
                         i=1
                        n
a_n的級數收斂 if s_n = Σ a_i收斂 （很明顯s_n就是一個新數列）
                       i=1

如下：
                           a_1+...+a_n
a_n的級數收斂到L如果 c_n = ────── 以數列定義收斂到L
                                n

自己算算看，前兩者就是這樣算來了，而藉由定理：


因此有時會說Cesaro收斂是較廣義的收斂

最後第三個1+2+3+4....，是比較特殊的case，他的cesaro不管幾次都是發散的
那-1/12到底怎麼來的？弦論的書上也有這條阿！

                                                           ∞    1
首先我們藉由p級數審斂法知道：對於所有的複數s，當│s│>1時，Σ ─── 收斂
                                                           n=1  n^s

而運用解析延拓的方式，可以造出一個唯一的解析函數定義在整個複數平面扣掉s=1那點
且在│s│>1時的長相正是原本的級數長相，而這個延拓函數ζ在-1的值正是-1/12

所以...這單純只是把-1"不正常"的代入到"不該代"的地方，導致這個誤會...
如果你疑惑為啥那種異常的算法確可以算出ζ(-1)=-1/12，反正錯^n有天也會對XDD



其實神魔跟數學息息相關呢（？

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