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在下鍵盤湯川教授，人稱台灣伽利略，

讓我用物理來幫你算一下


Consider [-m,m] , m€Natural numbers

By W.A.T., take ε=1/m , there exists Pm s.t. │Pm(x)-f(x)│<1/m for x€[-m,m]

(W.A.T.：if f€C[a,b]

         then for all ε>0, there exists polynomial P_ε

              s.t. │P_ε(x)-f(x)│<ε for x€[a,b])


Let T_n(x)=:Pn(x)

Then for each x€R, x€[-m,m] for all m≧m* (m* is dependent on x)

hence │Pn(x)-f(x)│< 1/n , for all n≧m* ---(●)

take limit to n, Pn(x)→f(x) #
Let f is a continuous function on R

By W.A.T,

consider

    [-1,1], there is a sequence of poly. P     s.t. for each ε>0
                                          1,m

            |P  (x)-f(x)|<ε for x￡[-1,1] whenever m≧N  for some N
              1,m                                       1           1
      ˙
      ˙
      ˙

(*) [-n,n], there is a sequence of poly. P     s.t. for each ε>0
                                          n,m

            |P  (x)-f(x)|<ε for x￡[-n,n] whenever m≧N  for some N
              n,m                                       n           n
      ˙
      ˙
      ˙

    Take P  = P
          n    n,Nn

Claim: Pn→f pointwise on R
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
    Given x￡R and any ε>0

    there is an integer n  s.t.  x￡[-n,n]

    then we have |Pn(x)-f(x)| = |P   (x)-f(x)|<ε  (By (*))
                                  n,Nn
    Hence Ｐn→f pointwise
                          ＃

結論：

       風壓把你家維修間的天花板掀起來了。

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