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鄉親們，很遺憾石耀淵又落跑了，就跟他在2014年做的事一樣。

: ※ 引述《Hyuui (修)》之銘言：
: : 如果你能成功證明 zeta 函數在 z=1 解析延拓收斂，就算我輸，場地費我付，並且履約
: : 當年的賭注一千萬元新台幣。
: : 反之，如果你無法證明，就是你輸，請履約賭注一千萬元新台幣。場地費可以算我的，剩
: : 餘的款項，我會捐給臺灣向日葵全人關懷協會、台灣兒童暨家庭扶助基金會、博幼社會福
: : 利基金會等公益團體。
: : 你當年可是逼我賣房子、賣內臟、簽長年契約、簽本票，我通通答應了，這次也不例外，
: : 我隨時可以找律師朋友見證簽約，債權絕對有法律效力。希望你不要又aloba，第n次被電
: : 到放棄帳號落荒而逃。
: : P.S. 我再加碼，只要辦成，我在台北和新竹各發100份雞排，憑本篇推文截圖領取。

......但好消息是，大家還是有雞排可以吃喔喔喔！！！

※ 引述《Schwinger (千金之子不死於盜賊)》之銘言：
:             12月8日是星期六,你不能再說你要上班了XD
: 我們只要辦成這次辯論會,規矩就是我之前文章所說的
: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1543969642.A.AD1.html
: 至少三天後彼此要互相把
:                       1+2+3+...+ 無窮大 = -1/12
: 在網路公開直播彼此的解法,再網路寫給大家看,你不能一直推託你要上班沒時間,
: 也不能用你google的陷阱,我也承認我過去錯誤的結論一直來讓我跳,但是你這人從來沒有
: 真正老老實實去弄懂
:             我本人願意加碼,土條願意跟我直播彼此公開自己的解法
:                              1+2+3+...+ 無窮大 = -1/12
: 如果你有做出來(歡迎你google喔),在新竹清大發300份雞排和珍珠奶茶

誰跟你三天？我四年前就做完啦。

│ 文章代碼(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函數和Gamma函數的一? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401122938.A.A36.html            │

關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。

1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/

不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的
「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了，所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這
回事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好，它並
不是嚴謹的數學結果。

│ 文章代碼(AID): #1JXzXqg4 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401411700.A.A84.html            │

2.

在以下這篇文章中，給出了Zeta{-n}的計算方法。

zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/

印象中，這應該是Ahlfors的證法。

我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。


複習一下sin{x}的連乘積表示法：

sin{x} = x * Pro_n=1~∞  { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }

故

z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= z * d/dz ln{ sin{z} }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }

= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }

= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }

注意到式中已經出現

Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}


考慮另一種展開：

z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]

= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]

= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }


比較係數後可得：

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

──

3.

接下來，假設大家知道Riemann functional equation：

Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}

為避免篇幅過長，此處將證明略去，有興趣可自行參考複變課本。

當 z=-2k+1

Zeta{-2k+1}

= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}

= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}

我們已經知道：

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

代入做整理：

Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k

最後可得：

k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12

k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2



──複習一下當年的推文，然後大家就去新竹找石耀淵領雞排吧！



#1JXARAUb (Math) 2014.05.28


#1JYWr5Bi (Math) 2014.06.06



#1JcpRsIe (Math) 2014.06.14


#1Jd6MWEk (Math) 2014.06.15




──【警告】以下是完整數學證明，對數學沒有興趣的人可以跳過。



│ 文章代碼(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函數和Gamma函數的一? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401122938.A.A36.html            │


Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果，但他說的東西有些錯誤。為了避免他
誤導別人，我想拉回來Math板上解說一下，順便補充一些我覺得有趣的東西。

──

#1JTsjw0U (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html

//Gamma解析延拓出去整個到複數平面,所有整數點包括 1 都是奇點//

#1JWWbT8- (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html

//解析延拓是每一個整數點都不可解析而不是你說的z=1//

──

解說如下：

1.

對於實部大於1的複數s，我們定義Zeta函數如下：

Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}

Zeta函數的原始定義域是{s | Re(s) > 1}。經過解析延拓(analytic continuation)，可
以拓展為在 {s | s ≠ 1} 的複數平面上的解析函數。

而在 s=1 該點上，即為著名的調和級數。

Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...



這個證明的思路相當簡單，有些讀者在高中時可能就已經學過了。

1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...

第二個級數的每個括號內的值都等於1/2，無窮多個1/2加起來顯然發散。注意到第一個級
數的每項都大於第二個級數，故第一個級數發散。

因此，Zeta函數在 s=1 是無法解析延拓的。

解析延拓的Zeta函數在s等於負整數的值，有一個方便的公式可以計算：

Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)

其中 B_(n+1) 為Bernoulli number。

由於 B_n 在 {n | n為奇數，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0

──

2.

對於實部大於0的複數s，我們定義Gamma函數如下：

Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt

Gamma函數在s等於正整數的值非常容易計算，因為有以下公式：

Gamma {n} = (n-1)!

Gamma函數的原始定義域是{s | Re(s) > 0}。經過解析延拓(analytic continuation)，
可以拓展為在 {s | s ≠ 0 or 負整數} 的複數平面上的解析函數。

在 {s | s = 0 or 負整數} 這些點上，Gamma函數是發散的，但我們可以使用留數定理計
算留數。

Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!

──

3.

關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。

1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/

不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的




Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt

這個關係成立在Zeta函數和Gamma函數原始定義域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。

而且這個特殊關係無法改變以下事實：

1. Zeta函數在 {s | s ≠ 1} 發散。
2. Gamma函數在 {s | s = 0 or 負整數} 發散。

在整個複數平面上，我們比較常使用的是Riemann functional equation。

Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}

我們可以由sin {πs/2}這項再次看出：Zeta {-2n} = 0

──

以上是一些關於Zeta函數和Gamma函數的小說明，希望大家能弄清楚這些概念。

│ 文章代碼(AID): #1JX9d-UQ (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
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※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎?
: 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好
: 接下來這本書的  p.178頁  習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細
: 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了
: 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了
: 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得

Lindemann = Chatterly 在物理板說：

//
這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到,
所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂,
跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的
解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來
//

這讓我感到非常疑惑，因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。
中正數學系的情況我不清楚，至少在清華大學數學系，我們都是這樣教的。

或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明，但這一定難不倒他們。
而且要說Zeta函數的解析延拓超難，卻說自己會做AdS/CFT，這實在很奇怪。

我從未學過解析數論，也很久沒碰複變了，但我可以憑著記憶挑戰一下。

──

讓我們從一個基本式子開始：

(我對統計力學不熟，所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。)

Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt

移項一下。

Zeta {z}

= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數，記為g(z)。

我們要處理的只有 Int_0~1 的部分，

所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。

1 / (e^t -1)

= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...

故

Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

= Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt

= 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...

所以

Zeta {z}

= 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)}

注意到在z等於非正整數的時候，極點都會被Gamma函數抵消掉，

所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。


Q.E.D.

│ 文章代碼(AID): #1JXBZ-57 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
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※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 解法都已經你說如下了,不要再胡說八道好嗎?  對下面給個詳細數學證明好嗎?
: ------
:       這是統計力學一個非常基本的數學式子
: 做複變解析延拓
: 中間計算懶得打了,反正去問一個他曾經做過弦論的或是專做複變的教授應該都會


剛想起來，我明天晚上要出門一趟。

趕快趁現在來證明這個「統計力學的基本式子」，免得食言。



完整題目可以參考上面連結的圖檔，這是Elias M. Stein寫的複變課本的習題15。

──

我們要證明以下式子是怎麼來的：

Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt

先複習一下Gamma函數的定義：

Gamma{z} = Int_0~∞ {e^(-t) * t^(z-1)} dt

故

Gamma{z} / n^z

= (1 / n^z) * Int_0~∞ {e^(-t) * t^(z-1)} dt

= Int_0~∞ {e^(-nt) * t^(z-1)} dt

所以

Gamma{z} * Sum_n=1~∞ {1 / n^z}

= Int_0~∞ { t^(z-1) * [ Sum_n=1~∞ {e^(-nt)} ] } dt

= Int_0~∞ { t^(z-1) / (e^t -1)} dt

移項即可得到

Zeta{z} = Sum_n=1~∞ {1 / n^z}

= (1 / Gamma{z}) * Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt


Q.E.D.


P.S.

1. 我不是專做弦論、也不是專做複變的教授。

2. 利用該式證明Zeta函數的解析延拓，請見我的上一篇文章。

   也就是Elias M. Stein寫的複變課本的習題16。

│ 文章代碼(AID): #1JXzXqg4 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401411700.A.A84.html            │


我在之前的文章中，證明了Zeta函數的解析延拓。

http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html

如果只要求證明解析延拓的話，不需要算出過程中一些係數的確切值。
也不需要動什麼奇怪手術，所以我那篇文章非常簡短。

而這篇文章要證明以下式子：

Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1)

其中B_n為Bernoulli number。

這會稍微複雜一點，但也不是很困難的事。

而且有了該式，我們顯然可得：

Zeta{0} = B_1 = -1/2

= 1 + 1 + 1 + ...

Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12

= 1 + 2 + 3 + ...

注意：

嚴格來說，解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中，

其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。

所以上述兩式等於後半的發散級數，其實並不嚴謹。

──

1.

我在之前的文章提到：

把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。

1 / (e^t -1)

= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2  + ...

如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可)，會得到以下結果：

a_0 = -1/2

a_(2k) = 0

a_(2k-1) = B_2k / (2k)!

這裡的B_n稱為Bernoulli number，其中一種定義方式即為：

t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! }

且從上述的計算可知，B_n在 n>1 時的奇數項皆為0

所以

t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! }

做個簡單的多項式積分：

Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt

= Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt

= Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) }

它的前幾項是：

k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1)

k=1, B_1 / t = -1 / (2t)

k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1)

k=3或更大的奇數, 0

k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3)

k=6, ... (省略)

注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項，但這是錯的。

因為這三項根本就是第一個積分的一部分，要寫也沒寫完。

//

Chatterly：

      鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程





---

 Γ(s)ξ(s)= ∫   ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ---- + ------






//

(他PO在八卦板補上鐵牛運功散的上色版本比較好笑。XD)

所以手術失敗，患者宣告不治。

別說鐵牛運功散了，連生生造化丹都救不了你。

而且你知道嗎？

ξ叫作"xi"，ζ才叫作"zeta"，又是一個BUG。


為了避免讀者混淆，我將正確的式子再寫一次：

 Γ(s)ζ(s)= ∫ ------ dz = ∫  ------ dz + ∫ ------ dz

即是我之前文章中寫的：

Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt

Zeta {z}

= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

請注意，z=1是極點，但該點並不影響積分，不需要做什麼手術避開。

──

2.

在以下這篇文章中，給出了Zeta{-n}的計算方法。

zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/

印象中，這應該是Ahlfors的證法。

我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。


複習一下sin{x}的連乘積表示法：

sin{x} = x * Pro_n=1~∞  { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }

故

z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= z * d/dz ln{ sin{z} }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }

= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }

= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }

注意到式中已經出現

Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}


考慮另一種展開：

z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]

= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]

= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }


比較係數後可得：

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

──

3.

接下來，假設大家知道Riemann functional equation：

Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}

為避免篇幅過長，此處將證明略去，有興趣可自行參考複變課本。

當 z=-2k+1

Zeta{-2k+1}

= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}

= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}

我們已經知道：

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

代入做整理：

Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k

最後可得：

k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12

k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2


Q.E.D.


Enjoy it!

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