顯示廣告
隱藏 ✕
※ 本文為 MindOcean 轉寄自 ptt.cc 更新時間: 2018-12-07 07:15:44
看板 Gossiping
作者 Hyuui (修)
標題 Re: [問卦] 土條哥黃士修學歷到哪?
時間 Fri Dec  7 03:52:29 2018


鄉親們,很遺憾石耀淵又落跑了,就跟他在2014年做的事一樣。

: ※ 引述《Hyuui (修)》之銘言:
: : 如果你能成功證明 zeta 函數在 z=1 解析延拓收斂,就算我輸,場地費我付,並且履約
: : 當年的賭注一千萬元新台幣。
: : 反之,如果你無法證明,就是你輸,請履約賭注一千萬元新台幣。場地費可以算我的,剩
: : 餘的款項,我會捐給臺灣向日葵全人關懷協會、台灣兒童暨家庭扶助基金會、博幼社會福
: : 利基金會等公益團體。
: : 你當年可是逼我賣房子、賣內臟、簽長年契約、簽本票,我通通答應了,這次也不例外,
: : 我隨時可以找律師朋友見證簽約,債權絕對有法律效力。希望你不要又aloba,第n次被電
: : 到放棄帳號落荒而逃。
: : P.S. 我再加碼,只要辦成,我在台北和新竹各發100份雞排,憑本篇推文截圖領取。

......但好消息是,大家還是有雞排可以吃喔喔喔!!!

※ 引述《Schwinger (千金之子不死於盜賊)》之銘言:
:             12月8日是星期六,你不能再說你要上班了XD
: 我們只要辦成這次辯論會,規矩就是我之前文章所說的
: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1543969642.A.AD1.html
Re: [問卦] 土條哥黃士修學歷到哪? - 看板 Gossiping - 批踢踢實業坊
[圖]

 為了讓紛爭早點結束還有給土條勇氣接受物理直播辯論,我希望訂立以下對 土條更好的條件讓他鼓起勇氣出來直播物理,但是雙方若有避戰不敢出來直播就直接算輸 我想這次物理辯論直播應該會很多鄉民都在看,雙方都沒有任何理由說什麼了 還有希望就是就是抽籤題目,規則他可以跟我討論再跟鄉民報告,這次鄉民都可以見證 到我們是全國第一次網路直播辯論學識喔^^,我希望大家可以多多學術交流^^
 
: 至少三天後彼此要互相把
:                       1+2+3+...+ 無窮大 = -1/12
: 在網路公開直播彼此的解法,再網路寫給大家看,你不能一直推託你要上班沒時間,
: 也不能用你google的陷阱,我也承認我過去錯誤的結論一直來讓我跳,但是你這人從來沒有
: 真正老老實實去弄懂
:             我本人願意加碼,土條願意跟我直播彼此公開自己的解法
:                              1+2+3+...+ 無窮大 = -1/12
: 如果你有做出來(歡迎你google喔),在新竹清大發300份雞排和珍珠奶茶

誰跟你三天?我四年前就做完啦。

┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函數和Gamma函數的一? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401122938.A.A36.html            │
[分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果,但他說的東西有些錯誤。為了避免他 誤導別人,我想拉回來Math板上解說一下,順便補充一些我覺得有趣的東西。 ── #1JTsjw0U (Gossiping) 
 
│ 這一篇文章值 337 Ptt幣                                                   │
└─────────────────────────────────────┘

關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」,可參考這篇文章。

1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
1+2+3+…=-1/12? – 尼斯的靈魂
[圖]
最近很流行的一個話題,就是關於 $latex \displaystyle 1+2+3+\cdots=-\fra… ...

 

不過嚴格說起來,解析延拓後的Zeta函數,在額外拓展的定義域上已經不是原本的
「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了,所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這
回事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好,它並
不是嚴謹的數學結果。

┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1JXzXqg4 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401411700.A.A84.html            │
Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
我在之前的文章中,證明了Zeta函數的解析延拓。  如果只要求證明解析延拓的話,不需要算出過程中一些係數的確切值。 也不需要動什麼奇怪手術,所以我那篇文章非常簡短。 而這篇文章要證明以下式子:
 
│ 這一篇文章值 52 Ptt幣                                                    │
└─────────────────────────────────────┘

2.

在以下這篇文章中,給出了Zeta{-n}的計算方法。

zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/
zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 – 尼斯的靈魂
[圖]
假設$latex p>1$.利用$latex p$級數測試法,級數$latex \displaystyl… ...

 

印象中,這應該是Ahlfors的證法。

我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。


複習一下sin{x}的連乘積表示法:

sin{x} = x * Pro_n=1~∞  { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }



z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= z * d/dz ln{ sin{z} }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }

= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }

= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }

注意到式中已經出現

Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}


考慮另一種展開:

z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]

= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]

= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }


比較係數後可得:

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

──

3.

接下來,假設大家知道Riemann functional equation:

Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}

為避免篇幅過長,此處將證明略去,有興趣可自行參考複變課本。

當 z=-2k+1

Zeta{-2k+1}

= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}

= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}

我們已經知道:

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

代入做整理:

Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k

最後可得:

k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12

k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2



──複習一下當年的推文,然後大家就去新竹找石耀淵領雞排吧!



#1JXARAUb (Math) 2014.05.28

josh28      :不才清大數學09級 程度不怎樣 所以當年沒應屆畢業有05/28 08:34
josh28      :幸修到沈昭亮老師的複變
josh28      :我只能說 Hyuui的幾乎每一字一句說明都跟沈昭亮老師
josh28      :當年教過的一模一樣 只差沒有照本宣科的寫出來
josh28      :某C講的是對的 除非已故沈昭亮老師當年在亂教
josh28      :沒人站在你那邊是理所當然 因為本來就是你在鬼扯
josh28      :另外 所有你打的數學式子我沒有能力一一挑錯暫不提
josh28      :Hyuui的回答一直重複根本是不得已 因為你從頭到尾沒
josh28      :有辦法回應過 只是不斷跳針做人身攻擊還有修正自己的
josh28      :說詞而已y
josh28      :光這個討論串你回了九篇 一個像樣的證明都給不出來
josh28      :到這篇的說詞已經變成"我不想公開我的想法"了
josh28      :我話不全說死 因為這篇除了數學系大三教過的內容以外
josh28      :其它非我能力所及 所以"我選擇"相信你是在胡說八道
josh28      :理由是Hyuui寫的東西全部都是當年我上課聽過教過證過
josh28      :的東西 而你說他錯卻拿不出證明
josh28      :順便昭告一下 上面這段話只是個人想法 不對某C的"真
josh28      :才實料"做任何指控 我只是幫Hyuui背書幾件事:
josh28      :1.Hyuui的每一篇文章內容的確都是清大數學系大三課程
josh28      :所教過的
josh28      :2.所以除非當年沈老師是在亂教 不然Hyuui寫的東西都
josh28      :會是對的
josh28      :3.同理 某C所謂的Zeta函數的解析"超難"這件事會成立
josh28      :我想大概是在某個平行世界裡才有可能吧
Hyuui       :感謝學長為我說話。我是10級的,沒修到沈昭亮老師的05/28 09:23
Hyuui       :複變,但我的分析學(微積分、高微、泛函)的確是沈老
Hyuui       :師教的,他是我大學時期最重要的恩師。
Hyuui       :聽到學長說我的證法跟沈老師當年教的一模一樣,真是
Hyuui       :倍感榮幸,看來我沒令沈老師丟臉。再次感謝學長。:)

#1JYWr5Bi (Math) 2014.06.06

Hyuui       :今天是josh28學長開的期限,Lindemann到底有沒有把寫06/06 14:15
Hyuui       :好的邀請函請josh28學長轉交給教授啊?
Hyuui       :就不要嗆聲嗆這麼大,我也早說奉陪了,結果自己連個
Hyuui       :邀請函都不敢寫,害怕讓教授知道他丟臉喔?
Hyuui       :我超想看到有人證明Riemann/Hurwitz zeta函數在s=1解
Hyuui       :析,而且證明手法完全不會和我或Frank雷同呢。

josh28      :隔了這麼多天好像這件事都沒下文 那就如果忽然之間06/10 12:26
josh28      :又想到需要我幫忙的自行寫信給我囉 我不再回頭爬文了
Hyuui       :我連攝影器材都幫他打點好了說,真失望。06/10 20:26

#1JcpRsIe (Math) 2014.06.14

Hyuui       :明天就要6/15了,結果他根本不敢邀教授,我超失望。06/14 12:53
Hyuui       :一週多前我就幫他把攝影器材和人力打點好了說。
Hyuui       :結果他一聽說我真的要去,就開始裝死了。
Hyuui       :跟之前一千萬事件一樣,嗆聲嗆很大,結果臉丟光了。

#1Jd6MWEk (Math) 2014.06.15

Lindemann   :最後拜託鄉民們不要再寄信給我了,我這帳號不用了06/15 00:23



──【警告】以下是完整數學證明,對數學沒有興趣的人可以跳過。



┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函數和Gamma函數的一? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401122938.A.A36.html            │
[分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果,但他說的東西有些錯誤。為了避免他 誤導別人,我想拉回來Math板上解說一下,順便補充一些我覺得有趣的東西。 ── #1JTsjw0U (Gossiping) 
 
│ 這一篇文章值 337 Ptt幣                                                   │
└─────────────────────────────────────┘

 作者  Hyuui (修)                                                  看板  Math
 標題  [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識                                
 時間  Tue May 27 00:48:54 2014                                              
───────────────────────────────────────

Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果,但他說的東西有些錯誤。為了避免他
誤導別人,我想拉回來Math板上解說一下,順便補充一些我覺得有趣的東西。

──

#1JTsjw0U (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html
 

//Gamma解析延拓出去整個到複數平面,所有整數點包括 1 都是奇點//

#1JWWbT8- (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html
 

//解析延拓是每一個整數點都不可解析而不是你說的z=1//

──

解說如下:

1.

對於實部大於1的複數s,我們定義Zeta函數如下:

Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}

Zeta函數的原始定義域是{s | Re(s) > 1}。經過解析延拓(analytic continuation),可
以拓展為在 {s | s ≠ 1} 的複數平面上的解析函數。

而在 s=1 該點上,即為著名的調和級數。

Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

我之前在某篇文章中提過,17世紀的Pietro Mengoli就證明出調和級數發散。不過我後來
看到另一篇蔡聰明教授的文章,他說:「在1350年左右,N. Oresme(約1323~1382)證
明了調和級數發散, 這是歷史上第一個發散級數的例子。」


這個證明的思路相當簡單,有些讀者在高中時可能就已經學過了。

1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...

第二個級數的每個括號內的值都等於1/2,無窮多個1/2加起來顯然發散。注意到第一個級
數的每項都大於第二個級數,故第一個級數發散。

因此,Zeta函數在 s=1 是無法解析延拓的。

解析延拓的Zeta函數在s等於負整數的值,有一個方便的公式可以計算:

Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)

其中 B_(n+1) 為Bernoulli number。

由於 B_n 在 {n | n為奇數,且n>1} 的值都是0,故 Zeta {-2n} = 0

──

2.

對於實部大於0的複數s,我們定義Gamma函數如下:

Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt

Gamma函數在s等於正整數的值非常容易計算,因為有以下公式:

Gamma {n} = (n-1)!

Gamma函數的原始定義域是{s | Re(s) > 0}。經過解析延拓(analytic continuation),
可以拓展為在 {s | s ≠ 0 or 負整數} 的複數平面上的解析函數。

在 {s | s = 0 or 負整數} 這些點上,Gamma函數是發散的,但我們可以使用留數定理計
算留數。

Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!

──

3.

關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」,可參考這篇文章。

1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
1+2+3+…=-1/12? – 尼斯的靈魂
[圖]
最近很流行的一個話題,就是關於 $latex \displaystyle 1+2+3+\cdots=-\fra… ...

 

不過嚴格說起來,解析延拓後的Zeta函數,在額外拓展的定義域上已經不是原本的
「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了,所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這回
事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好,它並不
是嚴謹的數學結果。


至於「1 + 1 + 1 + ... = -1/2」,不嚴謹地說,則是解析延拓的 Zeta {0} 的值,它在
弦論中有些應用。但請注意,不要把Zeta函數和Gamma函數搞混了。雖然我們知道,Zeta函
數和Gamma函數相乘起來有個很漂亮的關係。


Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt

這個關係成立在Zeta函數和Gamma函數原始定義域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。

而且這個特殊關係無法改變以下事實:

1. Zeta函數在 {s | s ≠ 1} 發散。
2. Gamma函數在 {s | s = 0 or 負整數} 發散。

在整個複數平面上,我們比較常使用的是Riemann functional equation。

Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}

我們可以由sin {πs/2}這項再次看出:Zeta {-2n} = 0

──

以上是一些關於Zeta函數和Gamma函數的小說明,希望大家能弄清楚這些概念。

┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1JX9d-UQ (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html            │
Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
[圖]

Lindemann = Chatterly 在物理板說: // 這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到, 所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂, 跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
 
│ 這一篇文章值 314 Ptt幣                                                   │
└─────────────────────────────────────┘

 作者  Hyuui (修)                                                  看板  Math
 標題  Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識                            
 時間  Tue May 27 21:58:20 2014                                              
───────────────────────────────────────

※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言:
: 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎?
: 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好
: 接下來這本書的  p.178頁  習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細
: 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了
: 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了
:                          1+2+3+.....=-1/12
:                           1+1+1+....= -1/2
: 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得

Lindemann = Chatterly 在物理板說:

//
這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到,
所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂,
跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的
解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來
//

這讓我感到非常疑惑,因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。
中正數學系的情況我不清楚,至少在清華大學數學系,我們都是這樣教的。

或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明,但這一定難不倒他們。
而且要說Zeta函數的解析延拓超難,卻說自己會做AdS/CFT,這實在很奇怪。

我從未學過解析數論,也很久沒碰複變了,但我可以憑著記憶挑戰一下。

──

讓我們從一個基本式子開始:

(我對統計力學不熟,所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。)

Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt

移項一下。

Zeta {z}

= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數,記為g(z)。

我們要處理的只有 Int_0~1 的部分,

所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開,係數先不管它。

1 / (e^t -1)

= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...



Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

= Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt

= 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...

所以

Zeta {z}

= 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)}

注意到在z等於非正整數的時候,極點都會被Gamma函數抵消掉,

所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。


Q.E.D.

┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1JXBZ-57 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401207038.A.147.html            │
Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
[圖]

剛想起來,我明天晚上要出門一趟。 趕快趁現在來證明這個「統計力學的基本式子」,免得食言。 → CNSaya : 上傳圖檔 → Hyuui :明天晚上我有空的話,我順便把習題15證給大家看吧。 → Hyuui :免得有人說那是統計力學的基本式子,卻不知怎麼證。
 
│ 這一篇文章值 197 Ptt幣                                                   │
└─────────────────────────────────────┘

 作者  Hyuui (修)                                                  看板  Math
 標題  Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識                            
 時間  Wed May 28 00:10:35 2014                                              
───────────────────────────────────────

※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言:
: 解法都已經你說如下了,不要再胡說八道好嗎?  對下面給個詳細數學證明好嗎?
: ------
:       這是統計力學一個非常基本的數學式子
:                                s-1
:                         ∞    x
:           Γ(s)ξ(s)= ∫   ------- dx
:                         0    x
:                             e -1
: 做複變解析延拓
: 中間計算懶得打了,反正去問一個他曾經做過弦論的或是專做複變的教授應該都會


剛想起來,我明天晚上要出門一趟。

趕快趁現在來證明這個「統計力學的基本式子」,免得食言。

CNSaya      :https://imgur.com/ZlCZCTJ 上傳圖檔
[圖]
 

Hyuui       :明天晚上我有空的話,我順便把習題15證給大家看吧。
Hyuui       :免得有人說那是統計力學的基本式子,卻不知怎麼證。

完整題目可以參考上面連結的圖檔,這是Elias M. Stein寫的複變課本的習題15。

──

我們要證明以下式子是怎麼來的:

Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt

先複習一下Gamma函數的定義:

Gamma{z} = Int_0~∞ {e^(-t) * t^(z-1)} dt



Gamma{z} / n^z

= (1 / n^z) * Int_0~∞ {e^(-t) * t^(z-1)} dt

= Int_0~∞ {e^(-nt) * t^(z-1)} dt

所以

Gamma{z} * Sum_n=1~∞ {1 / n^z}

= Int_0~∞ { t^(z-1) * [ Sum_n=1~∞ {e^(-nt)} ] } dt

= Int_0~∞ { t^(z-1) / (e^t -1)} dt

移項即可得到

Zeta{z} = Sum_n=1~∞ {1 / n^z}

= (1 / Gamma{z}) * Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt


Q.E.D.


P.S.

1. 我不是專做弦論、也不是專做複變的教授。

2. 利用該式證明Zeta函數的解析延拓,請見我的上一篇文章。

   也就是Elias M. Stein寫的複變課本的習題16。

┌─────────────────────────────────────┐
│ 文章代碼(AID): #1JXzXqg4 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401411700.A.A84.html            │
Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
我在之前的文章中,證明了Zeta函數的解析延拓。  如果只要求證明解析延拓的話,不需要算出過程中一些係數的確切值。 也不需要動什麼奇怪手術,所以我那篇文章非常簡短。 而這篇文章要證明以下式子:
 
│ 這一篇文章值 52 Ptt幣                                                    │
└─────────────────────────────────────┘

 作者  Hyuui (修)                                                  看板  Math
 標題  Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識                            
 時間  Fri May 30 09:01:37 2014                                              
───────────────────────────────────────

我在之前的文章中,證明了Zeta函數的解析延拓。

http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html
Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識 - 看板 Math - 批踢踢實業坊
[圖]

Lindemann = Chatterly 在物理板說: // 這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到, 所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂, 跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
 

如果只要求證明解析延拓的話,不需要算出過程中一些係數的確切值。
也不需要動什麼奇怪手術,所以我那篇文章非常簡短。

而這篇文章要證明以下式子:

Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1)

其中B_n為Bernoulli number。

這會稍微複雜一點,但也不是很困難的事。

而且有了該式,我們顯然可得:

Zeta{0} = B_1 = -1/2

= 1 + 1 + 1 + ...

Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12

= 1 + 2 + 3 + ...

注意:

嚴格來說,解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中,

其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。

所以上述兩式等於後半的發散級數,其實並不嚴謹。

──

1.

我在之前的文章提到:

把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開,係數先不管它。

1 / (e^t -1)

= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2  + ...

如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可),會得到以下結果:

a_0 = -1/2

a_(2k) = 0

a_(2k-1) = B_2k / (2k)!

這裡的B_n稱為Bernoulli number,其中一種定義方式即為:

t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! }

且從上述的計算可知,B_n在 n>1 時的奇數項皆為0

所以

t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! }

做個簡單的多項式積分:

Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt

= Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt

= Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) }

它的前幾項是:

k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1)

k=1, B_1 / t = -1 / (2t)

k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1)

k=3或更大的奇數, 0

k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3)

k=6, ... (省略)

注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項,但這是錯的。

因為這三項根本就是第一個積分的一部分,要寫也沒寫完。

//

Chatterly:

      鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程


                重點是做手術  重點是做手術
                                               ->  手術結果就是在下面上色的
                重點是做手術   重點是做手術



---

                     s-1   1               s-1
              ∞    z            1        z         1     1      1
 Γ(s)ξ(s)= ∫   ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ---- + ------
              0     z           0       z
                   e -1                e -1       s-1    2s    12(s+1)

                                               ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

                                                 手術在這裡,媽,我阿榮啊
                                                我剛手術完要吃鐵牛運功散啦



                                     s-1
                               ∞   z
                            +∫  ------- dz
                               +    z
                              1    e -1

//

(他PO在八卦板補上鐵牛運功散的上色版本比較好笑。XD)

所以手術失敗,患者宣告不治。

別說鐵牛運功散了,連生生造化丹都救不了你。

而且你知道嗎?

ξ叫作"xi",ζ才叫作"zeta",又是一個BUG。


為了避免讀者混淆,我將正確的式子再寫一次:

                   s-1             s-1            s-1
              ∞  z           1   z          ∞  z
 Γ(s)ζ(s)= ∫ ------ dz = ∫  ------ dz + ∫ ------ dz
              0   z           0   z          1   z
                 e -1            e -1           e -1

即是我之前文章中寫的:

Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt

Zeta {z}

= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt

請注意,z=1是極點,但該點並不影響積分,不需要做什麼手術避開。

──

2.

在以下這篇文章中,給出了Zeta{-n}的計算方法。

zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/
zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 – 尼斯的靈魂
[圖]
假設$latex p>1$.利用$latex p$級數測試法,級數$latex \displaystyl… ...

 

印象中,這應該是Ahlfors的證法。

我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。


複習一下sin{x}的連乘積表示法:

sin{x} = x * Pro_n=1~∞  { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }



z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= z * d/dz ln{ sin{z} }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }

= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }

= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }

= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }

注意到式中已經出現

Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}


考慮另一種展開:

z * Cot{z}

= z * ( Cos{z} / Sin{z} )

= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]

= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]

= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }


比較係數後可得:

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

──

3.

接下來,假設大家知道Riemann functional equation:

Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}

為避免篇幅過長,此處將證明略去,有興趣可自行參考複變課本。

當 z=-2k+1

Zeta{-2k+1}

= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}

= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}

我們已經知道:

Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!

代入做整理:

Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k

最後可得:

k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12

k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2


Q.E.D.


Enjoy it!

--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.10.94.18
※ 文章代碼(AID): #1S2Nu0Ds (Gossiping)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1544125952.A.376.html
angelgirl13: 我11F 12/07 03:52
JingP: 好 謝謝雞排 他被桶就算落跑嗎2F 12/07 03:53
Dcwei:3F 12/07 03:53
Dinenger: 雞排是胖子在吃的4F 12/07 03:53
kuijun228: 他自己桶的不算烙跑吧0.0 所以辯論沒了嗎5F 12/07 03:53
angelgirl13: enjoy 林老師勒 看到最後一句爆氣!!!6F 12/07 03:53
JingP: 四樓那份給我7F 12/07 03:53
chris44099: 好了啦快睡覺8F 12/07 03:53
linda17a3: 你們到底要不要在一起9F 12/07 03:53
dklash: 馬的我資工肥宅不管你這麼多三小函數啦 雞排拿來啦10F 12/07 03:55
a195732684: 跑了一點都不意外 廢到笑11F 12/07 03:55
djhuty: 耶12F 12/07 03:56
L1ON: 雞排13F 12/07 03:57
BRANFORD: 明明海洋56有幫他代波  有擔當的話還是可以面對14F 12/07 03:57
moumoon5566: o'_'o15F 12/07 03:57
angelgirl13: 我覺得這篇很不尊重文組 我很生氣16F 12/07 03:57
chen0311: 雞排呢17F 12/07 03:58
Dcwei: 他是不是你幻想出來的人物 他真的真實存在地球上嗎?18F 12/07 03:59
Leoncheng: 前面他有用另一個帳號Lindemann轉文章 你要看一下嗎?19F 12/07 03:59
chch2011: 乾 太扯了吧哈哈哈20F 12/07 03:59
oaoa0123: 笑死,物理哥就崩潰仔一個只能騙騙文組而已21F 12/07 03:59
Leoncheng: #1S2MR-5k (Gossiping)22F 12/07 04:01
GreatHong: 雖然我是理工科的,但是達不到你的境界23F 12/07 04:01
NX9999: 太扯了,石言哥(食言落跑)竟然又落跑了= =24F 12/07 04:01
sonja66325: 錢25F 12/07 04:01
NX9999: 海洋56代po說的是石言哥認為士修沒有答應,幹= =26F 12/07 04:02
a80055power: 你怯戰吧?        我要雞排27F 12/07 04:03
joe83523: 雞排在新竹發嗎 終於有新竹了28F 12/07 04:04
GSHARP: 失望29F 12/07 04:07
dreamboat: 這時段很難戰起來30F 12/07 04:08
mineko: 快推 不然人家說我們看不懂31F 12/07 04:09
Chenflying: 失眠卡位 共襄盛舉32F 12/07 04:11
go80329: 機排+133F 12/07 04:13
z83420123: 雞排++34F 12/07 04:13
luckystrike5: G排35F 12/07 04:13
BernieWisman: 物理哥又被電了 疑 我怎麼說又?36F 12/07 04:14
aegis91086: 失眠卡位+137F 12/07 04:14
words2012: 真的沒必要賭一千萬元台比38F 12/07 04:14
words2012: 得饒人處且饒人 其實就當空氣就好
words2012: Hyuui身為人生勝利組 應該有更高情操 就是包容別人
words2012: 大家說好不好 0.0
kutkin: 這麼會  去拿諾貝爾數學獎啦  目前還沒人拿過呢  哼42F 12/07 04:16
NX9999: 紅明顯,找前面ID Lindemann的文,看石言大叔又石言了,43F 12/07 04:16
NX9999: 跳針士修沒答應他,都是士修的錯= =
tjtsyhssy: 這個流程已經不知道是第幾次了,快變成週期性的XDD45F 12/07 04:17
NX9999: 結論就是石言大叔是惡意鬧士修的無聊人士46F 12/07 04:17
awcd30010: 哪兒拿雞排 嘿嘿47F 12/07 04:19
words2012: 而且能絕食真的很棒 到底怎做到的48F 12/07 04:20
words2012: 一般人餓12小時就哭了
jeffery95099: 太神啦 土條50F 12/07 04:21
jeffery95099: 物理哥快出來啦 換你了別再躲==
※ 編輯: Hyuui (39.10.94.18), 12/07/2018 04:28:16
pricekin: 直播叫我52F 12/07 04:23
aynmeow: 文組怒噓53F 12/07 04:23
LOLI5566: 說重點54F 12/07 04:25
a09374567: 得饒人處且饒人+1 對精神病患認真 要反擊前面幾篇55F 12/07 04:26
a09374567: 你早就贏了 沒必要打到底吧
medama: 推57F 12/07 04:27
GX90160SS: 其實他會糾纏你這麼久,有一半原因是你會理他58F 12/07 04:29
otaku32286: 雞排59F 12/07 04:29
jetaime851: 直接end 想吃雞排60F 12/07 04:29
Lumbereddy: 好61F 12/07 04:30
aquaunder: 有印象,物理哥不用再嘴惹62F 12/07 04:30
paralyzation: 啪啪響63F 12/07 04:33
jomerion: 這時間讓人想到雞排是種罪惡最好快發喔64F 12/07 04:34
Vram: 這篇推文可以多拿一片嗎?65F 12/07 04:57
Lindemann: 不要再這裡製造聲勢嚇人啦,沒用的,現在有網路直播誰沒66F 12/07 04:58
NX9999: 不然你先直播啊@@67F 12/07 05:02
Lindemann: 對啊,你先直播啊,我可沒有看你的做法,我不看落賽的數學68F 12/07 05:05
Lindemann: 念書念到落賽還騙到數學版,我第一次看到這麼不要臉的人
a15973666: 輸的有夠慘還能出來跳針70F 12/07 05:05
alvis000: 分身之術71F 12/07 05:09
s8800892000: 雞排去哪領72F 12/07 05:27
WickedEye: 耶 雞排73F 12/07 05:31
bravo233295: 文組看不懂喇74F 12/07 05:40
Lindemann: 雞排的錢到底要怎麼算啦,你在板上宣布,只怕你不出來喔75F 12/07 05:40
orze04: 幹……看這篇花了我快半小時76F 12/07 06:07
Pheromone: 快推 否則別人以為我看不懂77F 12/07 06:15
littlethe: 雞排加178F 12/07 06:28
kingRAY: 導演系?79F 12/07 06:33
livability: 說重點啦80F 12/07 06:42
fangachien: 不要再戰什麼理組文組 改信媽祖比較賺啦81F 12/07 06:48
hikali: 其實他會糾纏你這麼久,有一半原因是你會理他+182F 12/07 06:48
rainnawind: 總之到底是有沒有雞排 我知道這樣就好83F 12/07 06:53
awcd30010: 該不會見面打起來84F 12/07 07:01
Whitening: 不是約戰了???85F 12/07 07:04

--
※ 看板: Gossiping 文章推薦值: 0 目前人氣: 0 累積人氣: 541 
分享網址: 複製 已複製
r)回覆 e)編輯 d)刪除 M)收藏 ^x)轉錄 同主題: =)首篇 [)上篇 ])下篇