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                         101學年度指定科目考試試題

                             數   學   考   科
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               ∣            ---作答注意事項---            ∣
               ∣                                          │
               │1.選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答      ∣
               ∣                                          ∣
               ∣2.更正時，應以橡皮擦擦拭，切勿使用修正液。∣
               ∣                                          ∣
               ∣3.未依規定畫記答案卡，致機器掃描無法辨識答∣
               ∣                                          ∣
               ∣案，其後果由考生自行承擔。                ∣
               │                                          │
               ∣4.禁止使用量角器，計算機。                ∣
               ∣                                          │
               │           祝  考  試  順  利             ∣
               ∣                                          ∣
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第壹部份:單一選擇題(21%)
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│說明︰第1題至第3題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫 │
│                                                                          │
│記在答案卡之「選擇題答案區」。各題答對者，得7分；答錯、未作答或畫記多於一 │
│                                                                          │
│選項者，該題以零分計算。                                                  │
└─────────────────────────────────────┘

1.英九總統卸任後，於年初存入銀行10000000元，其年利率為18%，每年複利一次，六
  年後銀行裡本利和最接近下列哪一選項?
  (log1.18=0.071882  log2.699556=0.431292  )
  (1)18000000 (2)43129200 (3)26995560 (4)71882000   (5)63368900

  [解]
               6
      令A=(1.18)  ，logA=6log1.18=0.431292=log2.699556
      ∴A=2.699556
                    6
      10000000x(1.18) =26995560                               故選(3)



  (1)160秒  (2)320秒  (3)640秒  (4)280秒   (5)480秒
  [解]
      先算第一次相遇
      英九秒速 16/3 公尺/秒
      小刀秒速 14/3 公尺/秒
      [(16/3)+(14/3)]t=10t=400  t=40
      所以第一次愛的相遇要花40秒
      第八次愛的相遇要花40秒x8=320秒



3.老師出了一道數學問題如下:函數y=f(x)=3sin(4x+π)+5，求其圖形週期,振幅,f(x)
  最大值和最小值。學生英九答:週期為π，振幅為1,f(x)的最大值為10，最小值為15。
  請問英九同學共答對幾題?
  (1)全答對  (2)答對3題   (3)答對2題   (4)答對1題   (5)全答錯

  [解]
      y=f(x)=3sin(4x+π)+5
      週期=2π/4=π/2
      振幅=3
      -3+5≦y≦3+5  =>2≦y≦8   f(x)的最大值為8，最小值為2
      所以英九全答錯                                            故選(5)


第貳部份:多重選擇題 (24%)
┌─────────────────────────────────────┐
│說明︰第4題至第6題，每題有5個選項，每題有一個以上是正確或適當的選項，請畫 │
│                                                                          │
│記在答案卡之「選擇題答案區」。各題答對者，得8分；答錯1個選項可獲得5分，答 │
│                                                                          │
│錯2個選項者可獲2分;未作答或答錯3個以上選項者，該題以零分計算。            │
└─────────────────────────────────────┘

4.在台灣不知名的土人部落裡，住有白賊族人與古意族人，外人很難從外表分辨他們，

  說台語，但聽的懂。阿伯先遇上不會說台語的英九，阿輝伯問:「你是哪一族人?」，


  (1)英九是白賊族人。
  (2)敦義是白賊族人。
  (3)蕾蕾是白賊族人。
  (4)英九和蕾蕾同族。
  (5)條件不足，無法判斷。

  [解]
     無論英九是哪一族的，他的回答一定是古意族人。
     所以[挖哩挖哩]就是古意族人的意思。

     因為 [挖哩挖哩]就是古意族人的意思，且 敦義是白賊族人，
     所以英九也是白賊族人。
     故選(1)(2)


  (1)天龍國本次的民調顯現﹐14%的人民對英九施政滿意。
  (2)此次民調在台南的抽樣人數少於在天龍國的抽樣人數 。
  (3)此次調查結果可解讀為﹕天龍國全體居民中有14%的人滿意英九的機率大於95%
  (4)若在台南以同樣方式進行多次民調﹐所得滿意度有95%的機會落在區間[0.00,0.08]
  (5)經密集廣告宣傳後﹐在臺南再次進行民調﹐並增加抽樣人數達原人數的四倍﹐則在
     95%信心水準之下，英九的滿意度之信賴區間寬度會減半（即0.04）﹒

  [解]
      (1)  ^  0.10+0.18
           p=------------=0.14 (14%)
                  2

      (2)
              _______________
          2 √(0.14x0.86)/n1  =0.04    n1=301(人) 天龍國

              _______________
          2 √(0.04x0.96)/n2  =0.04    n2=96 (人) 台南

      (3)
         令p為受訪時天龍國全體居民中真正的滿意度﹐p為一未知的定數﹒
         本題在問未知定數p為0.14的機率或P(p落在[0.10,0.18])是否大於0.95？
         因p為一未知的定數且[0.10,0.18]為一已知的區間﹐若使用機率的語言﹐
         P(p落在[0.10,0.18])只會是1或0.絕非P(p落在[0.10,0.18]) = 0.95﹐
         信賴區間的意思是「重複抽樣下大約有95%的區間會涵蓋真正的p值」﹒

      (4)區間可能變動
      (5)不一定

      答案為(1)(2)






  其他係數沒看錯)。剛好兩位學生都將題目偷偷傳給班上最聰明的阿扁來算，阿扁發現

  兩個人的題目雖然不一樣，但算出來的餘式卻相同，試問g(x)可能等於下列哪些一次
  式?
  (1)x
  (2)x-1
  (3)x-2
  (4)x+1
  (5)x+2

  [解]          3   2
      設f(x)= 3x +ax +2x+b

                   3   2
      英九:g(x)= 2x +ax +2x+b

                   3   2
      沖哥:h(x)= 3x +ax -2x+b

      依餘式定理發現 g(0)=h(0);  g(2)=h(2)  ; g(-2)=h(-2)
                     g(1)≠h(1) ; g(-1)≠h(-1)

      所以答案為(1)(3)(5)


第三部份:填充題 (21%)
┌─────────────────────────────────────┐
│說明︰第A題至第C題，請在答案欄內填上正確或最適當的答案，                  │
│                                                                          │
│      各題答對者，可得7分；答錯者獲得0分。                                │
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A.釣魚島有A，B兩座燈塔，B在A之正北20公尺處，英九在海上遊泳見A在北60度西，B在北
  45度西，若英九依北30東方游泳20分鐘後，見B在正西，則英九泳速為_______公尺/小時.

  [解]
      設英九從C點游到D點                      o         _
      畫圖可知                        20sin120      40√3
      三角形ABC中，依正弦定理可知BC= ---------o-= ----_---_-------
                                         sin15      √6-√2
                        _
      畫圖計算出CD=20(√3+1)
      時速 60(√3+1)公尺/小時


B.慾牲和孫小姐一起到WEGO汽車旅館開房間，房間裡有一張橢圓形的床，慾牲怕抽差時
  會翻滾到床下，所以特別計算橢圓床的大小，他發現橢圓的半長軸為1.7米，中心到焦點
  的距離為0.8米，請你幫慾牲計算橢圓長的正焦弦長為_________米。

  [解]
      由題意可知 半長軸長a=1.7      2    2   2
                         c=0.8  且 b  = a - c
                         b=1.5
                   2
                 2b     4.5    45
       正焦弦長=-----= -----= ----
                  a     1.7    17

C.國際知名雜誌《經濟學人》(The economist)直批「馬英九是笨蛋(Ma the bumbler)」，
  這篇報導一刊出馬上引起國人注意；事實上，「bumbler」不只有笨蛋、愚蠢的意思，
  更是指失敗者、作錯事與無能的人。請問將bumbler字母任意排列，且同字不相鄰，
  方法數有_________種。

  [解]
     先排umler 5!=120        6
     再從6個空隙挑2個來擺b> C =15
                             2
     120x15=1800(種)


第肆部份:計算題(34%)

┌─────────────────────────────────────┐
│說明︰第1題至第2題，每題有2個小題，每小題都只有一個正確的答案，請列式寫計 │
│                                                                          │
│算過程。各小題答對者，依所得配分得分；答錯、未作答者該題以零分計算。      │
└─────────────────────────────────────┘



  三隻的價錢分別是8、15、21元。在那中國戰亂的某一天，海豚賣完後，白賊吳與他老
  婆有如下的對話：白賊說：「賺錢真辛苦，一隻海豚訓練成本就要5元，今天到底賺
  了多少錢?」他老婆說：「今天共賣了7195元，只有432位顧客買到海豚」


  (a)請問當天白賊吳店內淨賺多少錢？ (7分)
  (b)聰明的你，請幫忙分析當天購買一隻、兩隻及三隻海豚的白痴人數各是多少人？
     (8分)

  [解]
      (a)當天淨賺7195-999x5=2200元
      (b)設當天有x個白痴買一隻海豚，有y個白痴買兩隻海豚，有z個白痴買三隻海豚
         x +y  +z  =432
         x +2y +3z =999
         8x+15y+21z=7195
         解出 x=95 y=107 z=230
         ∴當天有95個白痴買一隻海豚，
              有107個白痴買兩隻海豚，
              有230個白痴買三隻海豚。


  勞保年金改革政策。英九當選時的施政滿意度為5成。請計算下列各題:


  (2)計算英九提出勞保年金改革政策時，施政滿意度變為多少?(6分)
  (3)若達穩定狀態，依馬可夫定理，英九施政滿意度為何?(8分)
     (意指英九做的再爛，也有多少百分比的人無知的挺他)


  [解]         ┌        ┐
               │0.3  0.1│
  (1) 轉移矩陣:│        │
               │0.7  0.9│
               └        ┘

  (2)
               ┌        ┐      ┌   ┐ ┌     ┐
               │0.3  0.1│    3 │0.5│ │0.128│
      令    A= │        │， A  │   │=│     │
               │0.7  0.9│      │0.5│ │0.772│
               └        ┘      └   ┘ └     ┘
      英九提出勞保年金改革政策時，施政滿意度變為12.8%
  (3)
          ┌        ┐┌   ┐ ┌   ┐
          │0.3  0.1││ X │ │ X │
          │        ││   │=│   │ ，X=0.125
          │0.7  0.9││ Y │ │ Y │
          └        ┘└   ┘ └   ┘

         依馬可夫定理，達穩定狀態，施政滿意度為12.5%




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                          謝謝指證 :)

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                 謝謝指證

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