顯示廣告
隱藏 ✕
※ 本文為 xxxx9659 轉寄自 ptt.cc 更新時間: 2020-11-21 20:09:09
看板 Math
作者 algebraic (algebraic)
標題 [中學] 2^n+2^8+1=x^2 的正整數解
時間 Tue Nov 17 19:39:04 2020


如題
已知 2^n + 2^8 + 1 = x^2 的正整數解有兩組

n = 5  時,x = 2^4+1
n = 14 時,x = 2^7+1

我想請問要怎麼證明只有這兩組解?
n為偶數的時候我有想法,而且也證的出來
n為奇數時我實在是不知道該怎麼做

或許很簡單,只是我沒看到那條路而已?

有什麼想法還煩請各位指教了
謝謝!

有沒有正整數解的八卦?

--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.195.202 (臺灣)
※ 文章代碼(AID): #1VixPQyO (Math)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1605613146.A.F18.html
vectorlog   : x=a+1,  第一種a^2=2^n , 第二種a^2=2^81F 11/17 20:44
vectorlog   : 假設x=a+1啦~
hwanger     : 不是很懂為何a^2+2*a=2^n+2^8可以推到 a^2=2^n 或3F 11/17 21:58
hwanger     : a^2=2^8這兩個式子
GaussQQ     : 這之前有人問過等價的問題,沒人解出5F 11/17 21:59
GaussQQ     : https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600963968.A.DD6.html
GaussQQ     :

我的題目來源跟網址內的題目來源,應該是同一個沒錯
只是我把題目做了一些變換,才丟上來問的

不過沒想到的是,原來那時候大家也沒有解出來
我想原出題者應該自己也沒有注意到,怎麼證只有這兩個解吧

總之我大概知道,這似乎是一個很non-trivial的問題了
只能說數論就是這樣吧!

Starvilo    : https://i.imgur.com/xupmuGr.jpg8F 11/17 22:06
[圖]
Starvilo    : 不知這樣算不算@@9F 11/17 22:06
MisatoMitumi: 樓上是對的10F 11/17 22:34
MisatoMitumi: 等等,不是,因為2^(n-8)+1還可以分解
MisatoMitumi: 所以有機會K=2^8*P, L=Q, PQ=2^(n-8)+1
Starvilo    : 2數差113F 11/17 22:37
MisatoMitumi: K偶L奇,所以還是有機會的。2^m+1這種東西因數常常14F 11/17 22:45
MisatoMitumi: 還滿多的
MisatoMitumi: 誤噓抱歉
※ 編輯: algebraic (220.136.195.202 臺灣), 11/17/2020 22:58:16
cmrafsts    : 只用模2的power做不出來,因為有hensel lemma17F 11/18 00:18
TimcApple   : n = 2k+1, 設 y = 2^k 會有 257 = x^2 - 2y^218F 11/18 05:18
TimcApple   : 可解得 (x,y) = T^m (17, +-4)
TimcApple   : T = [[3,4],[2,3]], pell's equation 的解
TimcApple   : 然而沒法確定 y 是不是 2-power
TimcApple   : 同樣是因為 hensel lemma 的問題
[圖]
fragmentwing: 不知道這樣可不可行24F 11/18 11:08
fragmentwing: 啊啊 不行 沒有偶數一定是2的次方的保證
Starvilo    : 與IMO2006Q4很像26F 11/20 22:32
Starvilo    : https://i.imgur.com/v5tICnq.jpg
[圖]
algebraic   : 我用他的方法 套不進這一題QQ28F 11/21 03:26

--
※ 看板: xxxx9659 文章推薦值: 0 目前人氣: 0 累積人氣: 48 
作者 algebraic 的最新發文:
點此顯示更多發文記錄
分享網址: 複製 已複製
guest
x)推文 r)回覆 e)編輯 d)刪除 M)收藏 ^x)轉錄 同主題: =)首篇 [)上篇 ])下篇