※ 本文為 Knuckles 轉寄自 ptt.cc 更新時間: 2023-05-16 23:59:12
看板 C_Chat
作者 標題 Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
時間 Tue May 16 19:11:12 2023
直接說結論: 一樣多
姑且身為一個有靠數學招搖撞騙的小廢廢 應該可以提供個簡單的解答
但我知道西洽存在112數學系拿卷畢業 然後現在應該在國外讀博的版友
偶而也有112數學系畢業 然後讀電機碩的版友
但我知道西洽存在112數學系拿卷畢業 然後現在應該在國外讀博的版友
偶而也有112數學系畢業 然後讀電機碩的版友
相比之下我就只是個廢物Q_Q
關於自然數與質數誰比較多 這個驗證方式應該分為兩個步驟
1.質數是否為無限多個?
2.若質數為無限多個 那質數與自然數如何比較?
首先1.
質數有無限多個。
其證明方式非常簡單 用最基本的反證法即可
因"質數有無限多個"與"質數為有限多個"為相反的命題
故先假設"質數為有限多個"
則我們可以從小到大 將所有質數編號 p_1,p_2,p_3......p_n p_n為最大的質數
而若我們寫出一個大數N為所有質數的乘積
則會發現N+1不能被以上所有的質數給整除(餘數皆為1)
那麼就可以得出N+1亦為一個質數 且比p_n還要大 與最初的命題矛盾
所以可以得知"質數有無限多個" Q.E.D
再來2.
無限多個的自然數 與 無限多個的質數 其數量一樣多
非常簡單
我們可以說
"第一個"自然數為1 "第一個"質數為2
"第二個"自然數為2 "第二個"質數為3
"第三個"自然數為3 "第三個"質數為5
.....
以此類推
所有"第N個"自然數都可以對應到一個數 同時"第N個"質數亦可對應到一個數
那麼儘管有點違反直覺 但實際上論"個數" 則自然數的個數與質數的個數是一樣多的
或者說 只要能找到任何一個無法同時存在有"第M個"自然數 但沒有"第M個"質數的狀況
就能說自然數的個數 與 質數的個數不相同
這種概念在所有的"可數集合"均成立
進階一點就像"有理數的的個數"也與"正整數的個數"是一樣多的
但是當命題拉到不是可數集合的時候 就不會那麼簡單了
就像無理數的個數有無限多個 正整數的個數也有無限多個
但無理數的個數卻是遠大於正整數的個數
不過要去說明就懶了 大概也沒人在乎
數學嘛 就是這麼反直覺 唉
--
https://imgur.com/r8P0qbu.jpg
你跟我說這個 我有什麼辦法
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 116.89.129.129 (臺灣)
※ 作者: zax8419 2023-05-16 19:11:12
※ 文章代碼(AID): #1aOsJLBO (C_Chat)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/C_Chat/M.1684235477.A.2D8.html
※ 同主題文章:
05-16 15:33 ■ [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
● 05-16 19:11 ■ Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
05-17 00:08 ■ Re: [問題] 無限多的自然數跟質數誰比較多？
推 : 「無理數的數量跟有理數的數量中間有沒有別的無限」1F 05/16 19:12
推 : 對於那些主張正解應該是無法比較而不是一樣多的有何看法2F 05/16 19:13
請他們找個數學老師問。→ : 這個問題的結論好像也是讓數學界很頭大3F 05/16 19:13
推 : 你很厲害www4F 05/16 19:13
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 19:14:02推 : 你好認真5F 05/16 19:14
推 : 趕快推不然被人發現我看不懂6F 05/16 19:15
推 : 跟文組解釋那麼多幹嘛==7F 05/16 19:15
推 : 每次都覺得數學才是真正的玄學==8F 05/16 19:15
→ : 我不能只會微積分跟傅立葉變換就好了嗎：（
→ : 我不能只會微積分跟傅立葉變換就好了嗎：（
→ : 質數無限多個這個高中就有證了10F 05/16 19:16
→ : 至於要證質數和自然數一樣多可沒有這麼簡單
→ : 要找到bijection
→ : 至於要證質數和自然數一樣多可沒有這麼簡單
→ : 要找到bijection
![[圖]](https://pbs.twimg.com/media/FrOKQF3akAAvYMV.jpg)
推 : 想起以前考資工所離散數學的數論 真的不知道在供三小15F 05/16 19:20
推 : 嗯嗯 跟我想的一樣16F 05/16 19:22
推 : 推個17F 05/16 19:22
推 : 那什麼神祕公式啦 XDDDD18F 05/16 19:25
→ : 另外一個比容易的方法，就是找兩個1-1函數19F 05/16 19:26
推 : 證這個不需要用複雜的公式啊 只要有演算法算出第N個質數就20F 05/16 19:27
→ : 好了 有人問為何是bijection就說是一個一個數的
→ : 另外一樓說的是連續統假設 在ZFC內無法證明也無法證否
→ : 好了 有人問為何是bijection就說是一個一個數的
→ : 另外一樓說的是連續統假設 在ZFC內無法證明也無法證否
推 : 樓上你不要再加新名詞了 到時候有人好奇ZFC是什麼XD23F 05/16 19:31
推 : x=024F 05/16 19:32
推 : 講的不錯 易懂25F 05/16 19:33
→ : 因為質數是自然數子集，一邊的1-1很容易26F 05/16 19:39
→ : 另外一邊就用Well-ordering principle可以做出來
→ : 另外一邊就用Well-ordering principle可以做出來
推 : 好 我問 ZFC是什麼28F 05/16 19:42
推 : 講中文啦 乾29F 05/16 19:42
→ : ZFC就是現在數學最常用的公理系統30F 05/16 19:46
→ : 那有KFC嗎？31F 05/16 19:46
推 : ZFC的概念就是把早期數學中發現的重要邏輯矛盾補起來32F 05/16 19:47
推 : 有人會問公理系統是什麼33F 05/16 19:47
推 : 推，寫的蠻好懂的34F 05/16 19:48
推 : 都在算第一個質數、第二個質數了，這不是bijection什麼才是35F 05/16 19:48
推 : 推推文36F 05/16 19:48
→ : 不是，證明不能直接說第一個第二個，因為說第一個第二37F 05/16 19:49
→ : 個隱含的意思就是你找到一個函數對應自然數和質數
→ : 你要真的把拿個函數做出來才是證明
我是覺得啦 除非是本科系的 不然越講越細節只會讓大家越來越排斥數學→ : 個隱含的意思就是你找到一個函數對應自然數和質數
→ : 你要真的把拿個函數做出來才是證明
唉 數學其實很有趣的
推 : (指指我po的圖)40F 05/16 19:50
→ : 如果是找一對反函數 函數用演算法的形式寫出呢41F 05/16 19:53
推 : 我以為不能直接用第1、2、3個來證明，而是要證明一一42F 05/16 19:55
→ : 對應的關係才能知道他們是一樣多？例如自然數跟偶數一
→ : 樣多可以符合n與2n，有幾個自然數就有幾個偶數這樣
科普向的就別要求那麼多了→ : 對應的關係才能知道他們是一樣多？例如自然數跟偶數一
→ : 樣多可以符合n與2n，有幾個自然數就有幾個偶數這樣
你要我全部完整寫出來就也沒人要看了(實話是我也懶得寫)
推 : 雖然是不懂數學但看一些科普書真的覺得數學就是魔法45F 05/16 19:55
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 19:58:06推 : 就算喜歡數學也不見得會想要自己跳下去完整解題老實講XD46F 05/16 20:02
推 : 有一個旅館 每個房間都有一個不重複的自然數編號 今天47F 05/16 20:05
→ : 來了一群客人 每位客人都有一個質數編號 每位客人都
→ : 要住進字面上等同自己編號的房間 所有客人check in 完
→ : 成後 空房間是無限的嗎？有住人的房間是否遠少於沒住
→ : 人的房間？
→ : （客人的質數編號也相互不重複）
→ : 來了一群客人 每位客人都有一個質數編號 每位客人都
→ : 要住進字面上等同自己編號的房間 所有客人check in 完
→ : 成後 空房間是無限的嗎？有住人的房間是否遠少於沒住
→ : 人的房間？
→ : （客人的質數編號也相互不重複）
推 : 謝謝你希爾伯特53F 05/16 20:08
推 : 淺顯易懂54F 05/16 20:11
推 : 所有質數的乘積+1 不一定是質數吧?55F 05/16 20:15
這邊要先注意到前提 是"質數為有限多個"而這個乘積+1 除以 任何一個質數均是餘一
其他所有的合數也可以視為質數的乘積(可以質因數分解)
從定義上 這一個數的正因數僅有"1"與"自己"時 就是個質數
那這個N+1就會是個質數
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 20:19:30
推 : 有無限的房間卻常常客滿的飯店56F 05/16 20:19
推 : 0..057F 05/16 20:21
推 : 假設有n個質數 1.其實還有第n+1個質數可以整除N+1 2.N+58F 05/16 20:22
→ : 1是質數
→ : 1是質數
推 : 謝謝你數學人 看到推文那個公式有個cos我更不懂了60F 05/16 20:26
推 : 感謝科普61F 05/16 20:31
→ : 我把標題改寫一下 應該就能讓人懂了吧62F 05/16 20:31
→ : 1000個自然數跟 1000個質數 誰比較多???
五公斤的棉花 跟五公斤的鐵塊 誰比較重→ : 1000個自然數跟 1000個質數 誰比較多???
※ 編輯: zax8419 (116.89.129.129 臺灣), 05/16/2023 20:32:33
推 : 推個 以前修過數學系的數學導論，後來就聳了...64F 05/16 20:35
→ : 是說ZFC好像是集合論會帶到的東西?
→ : 是說ZFC好像是集合論會帶到的東西?
推 : 其實反證法這東西即使是理工科的人也有不小比例搞不懂…66F 05/16 20:35
推 : 黃子嘉有教過67F 05/16 20:37
推 : 1樓說的那個東西是戴德金分割，已經有證明了68F 05/16 20:52
推 : 樓上你再看清楚一點我寫的東西是什麼XD69F 05/16 20:53
推 : 你好棒70F 05/16 20:54
→ : Dedekind cut是講實數完備性71F 05/16 20:55
→ : 跟不連續統假設是兩件事
→ : 跟不連續統假設是兩件事
推 : 講的很有道理 對吧發仔73F 05/16 20:59
推 : 以中學數學來說，你寫的很棒，好懂又沒省略太多74F 05/16 21:03
推 : 嗯嗯 就是這樣75F 05/16 21:09
推 : 寫得蠻好理解的耶76F 05/16 21:52
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