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看板 Gossiping
作者 標題 Re: [問卦] 拓樸學 是拿紙壓在石頭上刻字嗎
時間 Sun Dec 31 15:24:25 2017
拓樸學與幾何學的關係-
前一篇說過 拓樸學是一門研究空間性質的學問
但是對於沒聽過「拓樸學」這個名詞的人來說 所謂「研究空間性質」的學問 大家會
想到的是什麼學問呢？ 應該想到的是「幾何學」吧
那麼， 拓樸學 跟 幾何學 有什麼不同呢？
由於國高中數學的緣故 對於大多數人來說「幾何學」就是等於「歐基里德幾何學」(
也就是在玩點、直線、圓、平行線...等)
但是隨著微積分的發展 幾何學已經引入了微積分的技巧 而使得專家們可以開始研究更隨
意、更扭曲的幾何物體
意、更扭曲的幾何物體
並且研究這種彎曲的空間已經是目前數學家認知的幾何學的主流 也因此,當數學家們講「
幾何學」時 通常他們心理指的就是「利用微積分技巧來研究的幾何學」，這種學問通
幾何學」時 通常他們心理指的就是「利用微積分技巧來研究的幾何學」，這種學問通
稱「微分幾何學」 (BTW, 請先忽略也有代數幾何學這種東西XD)
(如果有學過微積分的同學 我可以稍微提一下一個利用微積分的技巧來研究幾何學的概念
以曲面為例 首先 有了微分後 我們就可以算曲面上任意某個點的切向量 接著我們會讓該
點沿著曲面移動 然後觀察切向量的變化 這些變化就會透漏出 曲面的彎曲資訊)
以曲面為例 首先 有了微分後 我們就可以算曲面上任意某個點的切向量 接著我們會讓該
點沿著曲面移動 然後觀察切向量的變化 這些變化就會透漏出 曲面的彎曲資訊)
雖然微積分是很有利的工具 但是它也有很多缺點：
第一個缺點是 它只能拿來研究「圓滑」的幾何物體
第一個缺點是 它只能拿來研究「圓滑」的幾何物體
比方說大家可能都知道在某些邊邊角角的地方 就無法微分 像是桌子的桌腳是90度角的話
就無法在桌角算它的微分值(嚴格來說 其實還是可能找到好的參數座標使得這種點可以
微分,不過這種微分的結果一定是0 而在微分幾何上也不喜歡切向量是0的狀況 所以還
微分,不過這種微分的結果一定是0 而在微分幾何上也不喜歡切向量是0的狀況 所以還
是會排除這種case)
這是一個非常嚴重的問題 至少你環顧四周 應該會看到各種有角度的物體吧! 所以這代表
微分幾何能研究的幾何物體的範圍被大幅限縮了
微分幾何能研究的幾何物體的範圍被大幅限縮了
第二個問題是 「微分」是一種「局部性」性質(local property)
先解釋一下什麼是局部性性質
當你想要知道某一個函數 f(x) 在某個點p 可不可以微分時, 你只需要去研究f(x)在
p「附近的」行為就可以了
你不需要去理會 f(x) 在另外一個 點q 的行為
因此，可微分性是一種局部性性值 所以微分幾何的缺點就是你只能知道你想研究的空間
每個點的局部資訊 而無法了解整個空間所擁有的性質 有種以管窺天的味道
每個點的局部資訊 而無法了解整個空間所擁有的性質 有種以管窺天的味道
與局部性性質相對的則是「全域性」性值(global property)
舉例來說 f(x) 是不是一個一對一函數(one-to-one)就是一個全域性性值(所謂一對一函
數 指的是對於任意不同的兩點 p、q，則 f(p) 不等於 f(q),也就是不會有不同的點
數 指的是對於任意不同的兩點 p、q，則 f(p) 不等於 f(q),也就是不會有不同的點
被函數f打到同一個值)
要檢查f(x)是不是一對一函數 你一定要知道f(x)在它定義遇上「每一個」點的值 才能知
道它是否是一對一 因此是個全域性性質
道它是否是一對一 因此是個全域性性質
既然幾何學(微分幾何)有這些缺點 你可以說拓樸學某種程度上補足了那些缺點:
一、拓樸學考慮的空間不需要具備有微分結構(differential structure) 所以拓樸學可
以拿來研究有邊邊角角的物體
以拿來研究有邊邊角角的物體
二、拓樸學研究的拓樸性質基本上都是「全域性」性值 比方說整個空間是否「有破洞」
就是一個拓樸性質 像是甜甜圈就是一個中間有個洞的曲面
就是一個拓樸性質 像是甜甜圈就是一個中間有個洞的曲面
當然，如果你想研究的已經是一個「圓滑的」空間(也就是你可以對它用微積分的技巧)
你依然也可以同時用拓樸學的技術來研究它
驚人的是，數學家們已經發現了微分結構跟拓樸性質之間有某些關係了 也就是說我們已
經發展出一些能夠把局部性質跟全域性質連結起來的理論(ex: Gauss-Bonnet theorem 或
Morse theory等 有興趣的話請google它們)
經發展出一些能夠把局部性質跟全域性質連結起來的理論(ex: Gauss-Bonnet theorem 或
Morse theory等 有興趣的話請google它們)
個人認為這是很美麗很漂亮的結果(題外話 華人數學大師陳省身教授就對於Gauss-Bonnet
定理在高維度空間的推廣有極重大的貢獻也因而引發了數學家們對於拓樸理論上的某種
定理在高維度空間的推廣有極重大的貢獻也因而引發了數學家們對於拓樸理論上的某種
特徵類的研究 這種特徵類以陳教授的姓氏命名 就叫做「陳類」(Chern class))
接下來就要談一下在前一篇說好的「依拓樸性質將空間分類」惹
不過好累 還是讓我先休息一下
(未完待續)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.168.113.144
※ 文章代碼(AID): #1QI92i1- (Gossiping)
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※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:25:28
稱叫文藝復興)搞對沖基金 賺了很多錢 據說他偏愛雇用數學或物理的博士
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:32:39
所以我選擇我覺得比較有趣的部分 再著拓樸空間拋開距離的概念 不代表拓樸主要
想研究的是無法由距離來定義的拓樸空間 他只是不想被距離的觀念所限制
最終把拓樸拿來用的空間 很多都還是有距離的
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:34:38
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:39:29
如果這個空間剛好是你想的歐氏空間 那當然有很多距離可以讓你選
問題是數學家在講拓樸空間時 那個空間可能只是單純的一個集合 配上拓樸條件
因此你就沒辦法很自然地說集合內兩個元素的距離
至於拓樸條件是什麼 基本上就是你給完該集合後 還要再給一組該集合的某些subets
所形成的集合 這些subets之間要符合某些抽象的性質 之後這些subets就會被我們
稱為原集合的開子集 至於說那些抽象的性質是什麼 一開始是觀察在有距離的空間
中 那些開子集所擁有的性質(在有距離的空間中 你可以想像一下開子集就是某些不
包含邊界的集合 像是(0,1)在實數軸上就是一個開子集 (0,1]則否)然後我們從這些開
子集所具備的性質萃取出必要的抽象性質 接著有一個很古老的拓樸學的問題就是 如何
給定一個抽象的拓樸空間而知道他的拓樸是可以由某個距離所導致的? 因為的確是有
拓樸空間的拓樸是無法由距離來給出的 也就是說不管你怎麼定義該空間的距離 也無
法得到跟該空間一樣的開子集們
另外一般的抽象拓樸空間雖然不一樣有距離的概念 但他依然有所謂的「遠近」的概念
甚至數列是某收斂的概念 或著一個函數 f:A->B 是否連續(A、B是兩個拓樸空間)
基本上就是用那些開子集們來仿造原先在有距離的空間的概念罷了
看完之後有沒有覺得我在講三小XD
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 16:23:10
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 22:06:03
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 22:07:12
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→ : 我大概懂了 所以幾何學也是把紙壓在石頭上刻字嗎1F 12/31 15:25
推 : 聽說有大師用拓樸學去研究期貨賺大錢?2F 12/31 15:26
不曉得你說的是不是James Simons 他原先是個數學家 後來在華爾街開公司(公司名稱叫文藝復興)搞對沖基金 賺了很多錢 據說他偏愛雇用數學或物理的博士
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:32:39
推 : 所以我可以把魚印在紙上了嗎3F 12/31 15:29
推 :4F 12/31 15:29
推 : 數學系推5F 12/31 15:30
推 : 淺顯易懂推6F 12/31 15:31
推 : ....為什麼不是以沒有距離概念的空間來講7F 12/31 15:33
切入方法有很多啊 而且我的目的是想要讓沒學過數學的人可以稍微懂拓樸在幹嘛所以我選擇我覺得比較有趣的部分 再著拓樸空間拋開距離的概念 不代表拓樸主要
想研究的是無法由距離來定義的拓樸空間 他只是不想被距離的觀念所限制
最終把拓樸拿來用的空間 很多都還是有距離的
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:34:38
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:39:29
推 :8F 12/31 15:36
→ : 樓下修數學系的課拿 A+9F 12/31 15:38
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 15:40:01推 : 原PO 大師 就是他~10F 12/31 15:48
推 : 專業精蟲11F 12/31 15:56
推 : 哇 想問什麼是沒有距離的空間? 維度上的數值不能表示嗎?><12F 12/31 16:00
這個講起來有點麻煩 希望你有耐心看下去XD 首先你要知道什麼空間叫做拓樸空間如果這個空間剛好是你想的歐氏空間 那當然有很多距離可以讓你選
問題是數學家在講拓樸空間時 那個空間可能只是單純的一個集合 配上拓樸條件
因此你就沒辦法很自然地說集合內兩個元素的距離
至於拓樸條件是什麼 基本上就是你給完該集合後 還要再給一組該集合的某些subets
所形成的集合 這些subets之間要符合某些抽象的性質 之後這些subets就會被我們
稱為原集合的開子集 至於說那些抽象的性質是什麼 一開始是觀察在有距離的空間
中 那些開子集所擁有的性質(在有距離的空間中 你可以想像一下開子集就是某些不
包含邊界的集合 像是(0,1)在實數軸上就是一個開子集 (0,1]則否)然後我們從這些開
子集所具備的性質萃取出必要的抽象性質 接著有一個很古老的拓樸學的問題就是 如何
給定一個抽象的拓樸空間而知道他的拓樸是可以由某個距離所導致的? 因為的確是有
拓樸空間的拓樸是無法由距離來給出的 也就是說不管你怎麼定義該空間的距離 也無
法得到跟該空間一樣的開子集們
另外一般的抽象拓樸空間雖然不一樣有距離的概念 但他依然有所謂的「遠近」的概念
甚至數列是某收斂的概念 或著一個函數 f:A->B 是否連續(A、B是兩個拓樸空間)
基本上就是用那些開子集們來仿造原先在有距離的空間的概念罷了
看完之後有沒有覺得我在講三小XD
推 : 先推了！13F 12/31 16:02
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 16:19:41推 : 磚家給推14F 12/31 16:09
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 16:20:24※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 16:23:10
推 : 推15F 12/31 16:44
推 : 已存，感謝分享16F 12/31 18:10
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 22:04:03※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 22:06:03
※ 編輯: chieh27 (118.168.113.144), 12/31/2017 22:07:12
推 : 推17F 12/31 22:09
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(￣︶￣)ｂ microken 說讚！
2樓 時間: 2018-01-01 12:07:34 (台灣)
→
01-01 12:07 TW
沒有學分壓力 自學才能享受 因理解而得到的滿足感開集 閉集 鄰域 閉包 內部 邊界 這六個基礎拓樸學名詞之關聯是很有趣的
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