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※ 引述《shrinkage (Shrinkage)》之銘言：
: 昨天看了Youtube科普頻道
: 用動畫模型解釋傅立葉轉換的構想
: 傅立葉轉換簡單說
: 就是把混雜混合過的一團東西
: 一個一個抽取出來
: 抽取的方法稱傅立葉轉換
: 這方法根本是外星人才會想到吧？
: 以前沒有動畫模型
: 甚至沒有彩色印刷的年代
: 理工學生有幾個真的能懂傅立葉轉換嗎？
: 太神的一個轉換了
: 嚴重懷疑是外星產物
你直接跳到 Fourier Transform 那當然看起來像外星產物啊
而且你講的混雜過的東西一個一個抽出來已經算是應用了

這一開始是從大家對 週期函數 的興趣開始的。

上過微積分的都知道，大部分連續函數我們都可以用多項式去逼近他，
在課本上叫做 泰勒級數，而我們最熱愛多項式了 嘻嘻

但是這個估計方式去弄週期函數，一眼看下去就會覺得沒那麼好，
因為一個多項式函數在你的變數跑到無窮大或無窮小都會爆開

所以可以換一下不要用 x, x^2 ,x^3 ........ 去逼近一個有周期的函數 f(x)，
改用些有周期的項目去逼近。



好~太棒了！令 g(x) = a1* cos(2π/T x) + b1* sin(2π/T x)
a1 跟 b1 是兩個我們想要找的常數，希望讓 g(x) 跟 f(x) 看起來"長得比較像"
一個合理的是去算能讓 ∫ ( f(x)-g(x) )^2 dx 最小的 a1 & b1，
這個很容易，就只是展開然後配方，會得到大家在微積分裡面看到的結果。
有人可能會問：啊怎麼不去算 ∫ | f(x)-g(x) | dx ？ 絕對值也是常用距離啊！
因為平方比較好算啦 幹

可是呢，這個算出來的g(x)，很難跟 f(x) 長得很像。可是別灰心，
週期為 T 的三角函數還有很多：就是那些週期為 T/2, T/3, T/n, .... 的三角函數
全部抓進來，所以我們可以改看一個無窮級數:
        ∞
 h(x) = Σ an* cos(2πn/T x) + bn* sin(2πn/T x)
        n=1
        T
去算讓 ∫ ( f(x)-h(x) )^2 dx 最小的 {an} 和 {bn}，
        0
就會得到課本上面的公式囉！

然後呢，用Euler 的那個 e^(ix) = cos(x) + isin(x) ，把h(x)整理一下，
                ∞
可以寫成 h(x) = Σ Cn e^(2πn/T x)
         T
Cn = 1/T∫ f(x)e^(-2πn/T x)dx
         0

這邊我想大家就看得出，Cn的大小可以看成 相對應頻率的三小函數 在f(x) 中的分量

這之後呢，你如果把一般函數想成「週期很大很大所以看不太出週期」的函數，
也就是想像 T→∞ 的情況，就變成 Fourier Tranform 了

不過Fourier Fransform產生的核心目的也是為了解微方就是了

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「他不能睡車上嗎？」  ～中野二乃
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